国防科技大学线性代数考试试题。
2023年6月，150分钟 )
注意：1．答案一律写在本试题纸上，写在草稿纸上的一律无效；
2．请先填好密封线左边的各项内容，不得在其它任何地方作标记．
一。 填空题(每小题3分，共15分)
1．设是3阶方阵，，则。
2．设方阵a满足，则。
3．设向量组线性无关，则必满足关系式。
4．设5阶方阵的秩分别为3和5，则矩阵的秩是 ．
5．向量是的一组基，则在该基下的坐标为。
二、单选题（每小题3分，共15分）
1．已知阶可逆方阵的一个特征值为2，则的一个特征值为 【
abcd)．
2．设为正交矩阵阵，则下列结论必成立的是。
(ab)；
c)为对称矩阵； (d)与为可交换矩阵．
3．已知二次型，若的秩为2，则参数t的取值为 【
a） 0； （b）1； （c）2； （d）3．
4．设a为阶方阵，b是a经过若干次矩阵的初等变换后所得到的矩阵，则必有 【
ab）；c）若，则； （d）若，则．
5．设线性无关，则下列向量组中，线性相关的是。
a）；b）；
c）；d）．
三、计算下列各题(每小题6分，共30分)
1．设均为3维列向量，记矩阵，若，求．
2．求向量组的秩与它的一个极大线性无关组，并将其余的向量由该极大线性无关组表示．
3．设，a =，求．
4．设a，b是n阶可逆方阵，且满足。
求方阵．5．当取何值时，方程组有唯一解、无解、有无穷多组解？并在有无穷多组解时，求通解表达式．
四、（10分）计算阶行列式。
五、（10分）设a是矩阵，与是非齐次线性方程组ax=b的两个不同解，是对应的齐次线性方程组ax=0的非零解，证明：
1) 向量组线性无关；
2) 若秩，则向量组线性相关。
六、（10分）设由生成的向量空间为，由，生成的向量空间为，证明。
七、（10分）设3阶对称矩阵a的特征值为，是a的属于的一个特征向量，记，其中e是3阶单位矩阵．
1) 验证是b的特征向量，并求b的全部特征值的特征向量；
2) 求矩阵b．
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