2023年春季《线性代数》统考试题(a)
时间：2023年4月7日晚上7:00-9:00
一、填空题(每小题4分，共20分，将答案填在题中横线上，不填解题过程。)
1. 若是5阶行列式中带正号的一项，则。
2. 设阶矩阵及阶矩阵都可逆，则。
3. 已知3阶方阵，是秩为2 的3阶方阵，且，则。
4. 设6阶方阵的秩为5，是非齐次线性方程组的两个不相等的解，则是的通解。
5. 设3阶矩阵有特征值，则。
二、单项选择题(每小题4分，共20分，每小题给出四种选择，有且仅有一个是正确的，将你认为正确的代号填入括号内。)
1. 设为4阶矩阵，且，把按列分块为，其中是的第列，则
a) －2b) 2c) 1d) 0.
2. 设均为阶矩阵，则。
① 若，则。
若，且，则。
若，且，则。
若可逆，且，则。
上述四个命题中，正确命题的个数是 (
a) 0b) 1c) 2d) 3.
3. 非齐次线性方程组中未知数的个数为，方程的个数为，，则 (
a) 时，方程组有解；
b) 时，方程组有唯一解；
c) 时，方程组有唯一解；
d) 时，方程组有无穷多组解。
4. 设是阶矩阵，是的特征值，是的分别对应于的特征向量，则 (
a) 时，一定成比例；
b) 时，一定不成比例；
c) 时，一定成比例；
d) 时，一定不成比例。
5. 实对称矩阵正定的充分必要条件是 (
a) ；b)的所有特征值非负；
c) 为正定的； (d)的主对角线上元素都大于零。
三、(6分) 计算4阶行列式 .
四、(6分) 已知均为阶可逆矩阵，若，求。
五、(6分) 已知矩阵， 3维列向量，若与线性相关，求常数。
六、(6分) 已知，求一组非零向量，使两两正交。
七、(6分) 设是3阶矩阵，有三个互不相等的正特征根，证明矩阵可逆。 如果的特征根分别是0，1，2，则的特征根分别是多少？
八、(6分)用非奇异线性变换把二次型化成标准形（方法不限），并写出所用的非奇异线性变换，指出其正惯性指数与负惯性指数各是多少。
九、(8分)设矩阵， 其中为实数，试求的一切可能值，使得。
十、(8分)设矩阵，问为何值时，可使① ；并求时的逆矩阵。
十一、(8分)设是阶方阵，为的伴随矩阵，证明：其秩。
第一页共六页第二页共六页第三页共六页。
第四页共六页第五页共六页第六页共六页。
院（系）装。
专业。班级。订。学号。
线。姓名。
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