一、填空题：（每小题3分，共15分）
二、选择题：（每小题3分，共15分）
三、计算题：（每小题7分，共28分）
1. 解 ，.故。
2. 解由得
3.解 4. 解：,故，而为正交矩阵，，从而。
四、（10分）解系数行列式。
当时，方程组只有零解．
当时，原方程组即为通解为．
当时，有通解为。
当时，有通解为。
当时，有通解为。
五、（10分）解因为， ,正交，所以，基础解系。
将，正交化。 .
六、(12分) 解 (1)的各行元素之和为3，有，所以是的属于特征值3的特征向量。又向量，是的线性无关的两个解，即，是的属于特征值0的两个线性无关的特征向量。由此可知，特征值0的重数不小于2.
综合知，的特征值为0,0,3.属于0的特征向量为，其中，是不全为零的常数；属于3的特征向量为，其中为非零常数。
2)将，正交化。令，.
单位化：, 令，则有。
七、（10分） 证法一：记，是的代数余子式，当时有。故。 因非零，于是总有一个，从而。
证法二：，则，又。即。
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