2011-2012学年第一学期考试试卷。
计算方法》 （a卷） （36学时）
学院学号姓名得分：
1、（14分）已知方程有一个正根及一个负根，1） 估计出含根的区间；
2） 分别讨论用迭代格式求这两个根时的收敛性；
3） 写出牛顿迭代格式。为使牛顿迭代格式求正根时收敛，讨论初值应如何取？
2、（10分）用杜利特尔（doolittle）分解算法求解方程，其中。
3、（12分）设方程组。
1）分别写出jacobi迭代格式及超松弛迭代格式；
2）证明jacobi迭代格式是收敛的。
4、（12分）已知数据
求形如的拟合曲线。
5、（10分）给定的一组值。
分别用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算。
6、（10分）试确定常数，及（），使求积公式。
有尽可能高的代数精度，并指出代数精度是多少，该公式是否为高斯型求积公式？
7、（10分）用改进的欧拉法（也称预估-校正法）求解方程（取步长）：
（取5位有效数字计算）
8、（10分）设方程在区间内有唯一根，导数连续，且，建立新的迭代格式
问如何选取实数，使新的迭代格式有局部收敛性。
9、（12分）设是关于个互异节点的拉格朗日插值基函数，证明
参***（2011-12-3）
1、 含根区间：[-2，-1]， 1，2]；，求负根时迭代收敛，求正根时迭代不收敛；
求正根时，牛顿法收敛：
2、分解为。
3、jacob迭代及超松弛迭代分别为。
jacobi迭代矩阵为。
3个特征值都为0，谱半径=0<1,所以收敛。
a = 32/89 = 0.36, b = 32/89
5、h = 0.2，n = 8等分。复化梯形t=0.4 ，复化辛卜生s=0.2667
6、分别取得。
解得。代入仍成立，代入不成立。
次代数精度，是高斯型。
7、 h = 0.1
x1=0.1 =1.2y1=1.2091
x2=0.2 =1.4289 y2=1.4381
8、 新迭代格式的不动点显然还是，新迭代函数，令。
得，则，所以至少2阶局部收敛。
9、作的拉格朗日插值，得
余项 显然时，有。
而时，。所以。
再取代入即得。
计算方法A卷 2023年秋
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