计算方法第四次上机报告。
2.用欧拉方法解初值。
y’=10x(1-y) 0<=x<=1
y(0)=0
取步长h=0.1,保留5位有效数字，并与准确解相比较。
分析：该题目考察欧拉方法解初值问题。
程序如下：function heun(a,b,y0,n)
h=(b-a)/n;x=a:h:b;
y=y0*ones(1,n+1);
for j=2:n+1
yp=y(j-1)+h*f(x(j-1),y(j-1));
yc=y(j-1)+h*f(x(j),yp);
y(j)=1/2*(yp+yc);
endfor k=1:n+1
fprintf('x[%d]=%f\ty[%d]=%f',k-1,x(k),k-1,y(k));
endfunction z=f(xx,yy)
z=10*xx*(1-yy);
运行结果：> heun(0,1,0,10)
x[0]=0.000000 y[0]=0.000000
x[1]=0.100000 y[1]=0.050000
x[2]=0.200000 y[2]=0.183000
x[3]=0.300000 y[3]=0.362740
x[4]=0.400000 y[4]=0.547545
x[5]=0.500000 y[5]=0.705905
x[6]=0.600000 y[6]=0.823543
x[7]=0.700000 y[7]=0.901184
x[8]=0.800000 y[8]=0.947627
x[9]=0.900000 y[9]=0.973290
x[10]=1.000000 y[10]=0.986645
分析：该结果与准确结果相比比较接近，但是有一定的误差。
6.用四阶龙格—库塔公式解第三题中的初值问题，取步长h=0.2，保留五位有效数字。
题目目的分析：
该题考查四阶龙格-库塔方法和改进欧拉方法求解精确度问题。
程序：改进欧拉法：
function heun(a,b,y0,n)
h=(b-a)/n;x=a:h:b;
y=y0*ones(1,n+1);
for j=2:n+1
yp=y(j-1)+h*f(x(j-1),y(j-1));
yc=y(j-1)+h*f(x(j),yp);
y(j)=1/2*(yp+yc);
endfor k=1:n+1
fprintf('x[%d]=%f\ty[%d]=%f',k-1,x(k),k-1,y(k));
end四阶龙格-库塔方法：
function oderk4(a,b,y0,n)
h=(b-a)/n;x=a:h:b;
y=y0*ones(1,n+1);
for j=2:n+1
k1=f(x(j-1),y(j-1));
k2=f(x(j-1)+h/2,y(j-1)+h/2*k1);
k3=f(x(j-1)+h/2,y(j-1)+h/2*k2);
k4=f(x(j-1)+h,y(j-1)+h*k3);
y(j)=y(j-1)+h/6*(k1+k4)+h/3*(k2+k3);
endfor k=1:n+1
fprintf('x[%d]=%f\ty[%d]=%f',k-1,x(k),k-1,y(k));
endfunction z=f(xx,yy)
z=-yy;
结果：> heun(0,1.0,1,10)
x[0]=0.000000 y[0]=1.000000
x[1]=0.100000 y[1]=0.905000
x[2]=0.200000 y[2]=0.819025
x[3]=0.300000 y[3]=0.741218
x[4]=0.400000 y[4]=0.670802
x[5]=0.500000 y[5]=0.607076
x[6]=0.600000 y[6]=0.549404
x[7]=0.700000 y[7]=0.497210
x[8]=0.800000 y[8]=0.449975
x[9]=0.900000 y[9]=0.407228
x[10]=1.000000 y[10]=0.368541
> oderk4(0,1.0,1,5)
x[0]=0.000000 y[0]=1.000000
x[1]=0.200000 y[1]=0.818733
x[2]=0.400000 y[2]=0.670324
x[3]=0.600000 y[3]=0.548817
x[4]=0.800000 y[4]=0.449335
x[5]=1.000000 y[5]=0.367885
结果分析：由程序结果得改进欧拉法和四阶龙格-库塔法运行结果上在小数第二位后才开始有所不同，但结果相差不大，精确度都是挺高的。
12.将二阶方程。
化为一阶方程组，取h=0.1,用四阶龙格-库塔法求有y（0.2）的近似值，保留5位有效数字。
解：目的分析：
该题目是要将二阶方程化为一解方程组，并用四阶龙格-库塔法求近似值。
程序如下：公式部分：
function z=f1(xx,yy)
z=5*xx-6*yy;
四阶龙格-库塔法：
function oderk4_1(a,b,y0,n)
h=(b-a)/n;x=a:h:b;
y=y0*ones(1,n+1);
z=-ones(1,n+1);
for j=2:n+1
k1=z(j-1);
l1=f1(z(j-1),y(j-1));
k2=z(j-1)+h/2*l1;
l2=f1(z(j-1)+h/2*l1,y(j-1)+h/2*k1);
k3=z(j-1)+h/2*l2;
l3=f1(z(j-1)+h*l2/2,y(j-1)+h/2*k2);
k4=z(j-1)+h*l3;
l4=f1(z(j-1)+h*l3,y(j-1)+h*k3);
y(j)=y(j-1)+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
z(j)=z(j-1)+h*(l1+2*l2+2*l3+l4)/6;
endfor k=1:n+1
fprintf('x[%d]=%f\ty[%d]=%f',k-1,x(k),k-1,y(k));
endend
结果图：结果分析：
由程序结果得四阶龙格-库塔法所得y(0.2)=0.501088
所给初值问题精确解为，y(0.2)=0.5009424.两结果在数值上相差不大，精确度高。
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