第二章。
1．请考虑如下问题：
1）给定，分别用lagrange插值方法，neville方法，newton方法，编制程序计算插值多项式。
2）给定的数值表，取插值节点分别为0.4,0.5,…,0.9和对应的函数真值。请计算的近似值：
a）以为节点计算。
(b) 以为节点，以为节点。
3）检验runge效应，检验教科书的内容：（a）等距节点；（b）切比雪夫点。
a）function s=lagrange(x,y,z)
nx=length(x);
ny=length(y);
if nx~=ny
warning(‘矢量x与y的长度应该相同)
return
endm=length(z);
for i=1:m
t=0.0;
for j=1:nx
u=1.0;
for k=1:nx
if k~=j
u=u*(z(i)-x(k))/x(j)-x(k));
endend
t=t+u*y(j);
ends(i)=t;
endreturn
b）function y0=neville(x,y,x0)
m=length(x);
ny=length(y);
if m~=ny
warning(‘矢量x与y的长度应该相同)
return
endm=length(x);
p=zeros(m,1);
p1=zeros(m,1);
p=y;for i=1:m
p1=p;k=1;
for j=i+1:m
k=k+1;
p(j)=p1(j-1)+(p1(j)-p1(j-1))*x0-x(k-1))/x(j)-x(k-1));
endif abs(p(m)-p(m-1))<10^-6;
y0=p(m);
return;
endend
y0=p(m);
c）function f=newton(x,y,x0)
sysms t;
if(length(x)==length(y))
n=length(x);
c(1:n)=0.0;
elsedisp(‘x与y的维度应相同‘);
return;
endf=y(1);
y1=0;l=1;
for(i=1:n-1)
for(j=i+1:n)
y1(j)=(y(j)-y(i))/x(j)-x(i));
endc(i)=y1(i+1);
l=l*(t-x(i));
f=f+c(i)*l;
simplify(f);
y=y1;if(i==n-1)
if(nargin==3)
f=subs(f,'t',x0);
elsef=collect(f);
f=vpa(f,6);
endend
end2) （a）以为节点计算， =0.6567
b) 以为节点， =0.6544
以为节点， =0.6534
3)runge效应。
等距节点：x=[-1:0.2:1];
y=1./(1+25.*x.*x);
x0=[-1:0.1:0];
yy=lagrange1(x,y,x0)
yyy=1./(1+25.*x0.*x0)
yy =columns 1 through 9
columns 10 through 11
yyy =columns 1 through 9
columns 10 through 11
如图，波动较大。
切比雪夫点：k=[0:1:10];
x=cos((2.*k+1)*3.1415/22);
y=1./(1+25.*x.*x);
x0=[-1:0.1:0];
yy=lagrange1(x,y,x0)
yyy=1./(1+25.*x0.*x0)
yy =columns 1 through 9
columns 10 through 11
yyy =columns 1 through 9
columns 10 through 11
波动较小，比等距节点更好。
2．多项式插值是不收敛的，检验样条插值的收敛性。考虑函数的插值问题，熟知等距节点插值具有runge效应，现在考虑如下四种插值方式，其中涉及的所有插值信息均按函数的真实值给出：
a）分段线性插值；
b）分段二次插值；
c）三次hermite插值；
d）三次样条插值，边界条件取为自然边界条件。
请画图给出几何曲线。如果不能绘图，请给出每个单元上表达式和插值节点的误差最大值。其中的单元个数分别取为2，4，8，16，32，用数值方式检验插值精度。
单元个数取2,4,8,16,32得：(a)分段线性差值。
b)分段二次差值。
c）三次hermite插值。
d）三次样条插值。
可见四种插值方式均随单元增加而精度增大。
1． 某汽车制造商用三次样条插值设计车门的曲线，其中一段的数据如下：
画图给出几何曲线，并计算x=5处的一阶导数和二阶导数近似值。
图：由图中计算可得，x=5处一阶导数近似值为0.360566298342541，x=5处二阶导数近似值为0.295837320574163。
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