路灯照明问题。
在一条20m宽的道路两侧，分别安装了一只2kw和一只3kw的路灯，它们离地面的高度分别为5m和6m。
问题一：在漆黑的夜晚，当两只路灯开启时，两只路灯连线的路面上最暗的点和最亮的点在**？
表一。模型假设：
1、路灯工作正常，可视为点光源。
2、地面无反射，且光在空气中传播没有折射和反射。
3、两只路灯连线的路面为一条直线。
根据距离平方反比定律（照度定律）可知，（1）
其中，e为照度。
i为光强度。
l为点光源到照射点的距离。
由于路灯的功率与光的强度成正比，可以设i=kp(k为发光系数），所以（1）式可变型为。
建模与求解：
两个路灯交汇处的照度。
假设k=1,代入表一数据得。
利用matlab求解：
clear all;
clc;n =0:0.000001:20;
f=10./(25+n.^2).^3/2)+18./(20-n).^2+36).^3/2);
plot(n,f)
fmax=max(f)
nmax=n(f==fmax)
fmin=min(f)
nmin=n(find(f==fmin))
fmax =0.0845 nmax =19.9767
fmin =0.0182 nmin =9.3383
所以，在距离2kw19.9767m处最亮，为0.0845；9.3383m处最暗，为0.0182。
问题二：如果3kw的路灯的高度可以在3m到9m之间变化，如何路面上最暗点的亮度最大？
当d1=9.3383，3利用matlab求解：
n =3:0.000001:9;
f=10/(25+9.3383^2)^(3/2)+3.*n./(n.^2+(20-9.3383).^2).^3/2);
plot(n,f)
fmax=max(f)
nmax=n(f==fmax)
fmax =0.0186 nmax =7.5390
所以，当3kw的路灯高度为7.5390m时，最暗点处最亮，为0.0186。
问题三：如果两只路灯的高度均可以在3m到9m之间变化，结果又如何？
当3利用matlab求解：
syms n1 n2;
f=2.*n1./(n1.^2+9.3383^2).^3/2)+3.*n2./(n2.^2+(20-9.3383).^2).^3/2)
dfdn1=diff(f,n1);
dfdn2=diff(f,n2);
h1=solve(dfdn1)
h2=solve(dfdn2)
vpa(h1,8)
vpa(h2,8)
h1=6.6031753m,h2=7.5389604m
所以，当2kw的路灯高6.6031753m，3kw路灯高7.5389604m，最暗点此时的亮度最大，为0.0189。
二、火箭发射问题。
小型火箭初始重量为1 400kg，其中包括1 080kg燃料。火箭竖直向上发射时燃料的燃烧率为18kg/s，由此产生32 000n的推力，火箭引擎在燃料用尽时关闭。设火箭上升时的空气阻力正比于速度的平方，比例系数为0.
4kg/m。求引擎关闭瞬间火箭的高度、速度、加速度，及火箭到达最高点时的高度和加速度，并画出高度、速度、加速度随时间变化的图形。
模型假设：设m为火箭与燃料的质量，在t时刻有：m=（1400-18t）kg (t<60s)
m=320kg (t≥60s)
建模与求解：
1）引擎关闭前。
火箭在t时刻所受合力f=f推-mg-kv2=ma 方向竖直向上；
设y（1）=h,y（2）=v;
则 y’(1)=y(2),y’(2)=f推/m-g-ky2（2)/m
利用matlab求解：
function odefun = func( t,y )
odefun=[y(2);32000/(1400-18*t)-0.4*y(2)^2/(1400-18*t)-9.8];
endt,y]=ode45('func',[0:10:60],[0,0])
vpa(y,8)
结果为：t =
y =此时，m=1400-1080=320kg
a=(32000-0.4*267.27^2-320*9.8)/320=0.9084m/s2
所以引擎关闭时，火箭距离地面12190m，速度为267m/s,加速度为0.9084m/s2
引擎关闭前，火箭高度、速度、加速度随时间变化的图形：
t,y]=ode23('func',[0:0.01:60],[0,0]);
y1=y(:,1);
y2=y(:,2);
subplot(1,3,1)
plot(t,y1)
xlabel('t'),ylabel('h')
subplot(1,3,2)
plot(t,y2)
xlabel('t'),ylabel('v')
a=diff(y2)/0.01;
subplot(1,3,3)
plot(a)
xlabel('t'),ylabel('a')
2）引擎关闭，火箭向上飞行至最高点：
m=1400-1080=320kg
此时f=mg+kv2=-ma，方向竖直向下，v逐渐减小至0，则火箭做加速度减小的减速运动。
mg+kv2=-ma=-m
设y（1）=h,y（2）=v;
则 y’(1)=y(2),y’(2)=-g-ky2（2)/m
利用matlab求解：
function odefun2 = func2(t,y)
odefun2=[y(2);-9.8-0.4*y(2)^2/320];
endt,y]=ode45('func2',[0:1:12],[12190,267])
vpa(y,8)
结果为：t =
ans =
由结果可以看出，在11~12秒间，有一刻，v=0，近似的认为在关闭引擎11秒，达到最高点，为13112m，加速度a==-9.8149/s2
引擎关闭后至最高点，火箭高度、速度、加速度随时间变化的图形：
t,y]=ode45('func2',[0:0.01:12],[12190,267]);
y1=y(:,1);
y2=y(:,2);
subplot(1,3,1)
plot(t,y1)
xlabel('t'),ylabel('h')
subplot(1,3,2)
plot(t,y2)
xlabel('t'),ylabel('v')
a=diff(y2)/0.01;
subplot(1,3,3)
plot(a)
xlabel('t'),ylabel('a')
分析检验：在（1）中，因为a=,利用matlab可以求出a=0.9085m/s2，在误差允许范围之内；在（2）中，求得a=-9.
8149/s2，实际上，火箭此时只受重力作用，且加速度方向与速度方向相反，因此，求得的答案是合理的。
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