一、整数线性规划问题。
圆钢原材料每根长5.5米，现需要a，b，c三种圆钢材料，长度分别为3.1m, 2.
1m, 1.2m 数量分别为100，200，400根，试安排下料方式，使所需圆钢原材料的总数最少。
问题假设：1）切割时没有损耗。
2）余料小于1.2m
建立数学模型：
一根原材料可采取的切割方案。
1.决策变量：对于一根原材料，采用第i种方案切割了xi根钢料。（i=1,2,3,4,5)
2.约束条件：
圆钢材料a:x1+x2≥100
圆钢材料b:x1+x3+2x4≥200
圆钢材料c:2x2+2x3+x4+4x5≥400
自然约束条件：xi≥0 ，xi∈n (i=1,2,3,4,5)
3.目标函数： min l=x1+x2+x3+x4+x5
完整的线性规划模型：
min =x1+x2+x3+x4+x5;
x1+x2>=100;
x1+x3+2*x4>=200;
2*x2+2*x3+x4+4*x5>=400;
gin(x1);
gin(x2);
gin(x3);
gin(x4);
gin(x5);
求解结果分析：
当有100根原材料按照方案二切割（一根a，两根c），100根原材料按照方案四切割（两根b，一根c），25根原材料按照方案五切割（4根c），此时用料最少，共用225根原材料。
二、非线性规划问题。
住宅小区服务中心选址：某地新建一个生活住宅区，共有20栋住宅楼，小区内所有道路都是东西或南北走向，开发商拟在小区内修建一个服务中心，地址选在离所有楼房的总路程最小的地方。为了保证建筑物之间有足够的空间，服务中心的位置与其它楼房位置之间的距离不能少于30米（已经考虑了所有建筑的占地面积），请你确定服务中心的位置。
设初始点x0=[20, 20], 设（ai,bi）（i=1,…20）为第i栋住宅楼的坐标：
a=[29.74 4.9 69.
32 65.0 98.3 55.
27 40.0 19.8 62.
5 73.3 37.58 0.
98 41.98 75.37 79.
38 92.0 84.47 36.
77 62.08 73.13],
b=[19.39 90.48 56.
92 63.18 23.44 54.
88 93.16 33.5 65.
5 39.19 62.73 69.
9 39.72 41.37 65.
52 43.5 34.6 75.
2 12.32 86.7].
问题假设：1)各种建筑的面积形状忽略不计。
2)建筑间的最短距离均为两点的直线距离。
3)小区内所有道路都是东西或南北走向。
数学模型建立：
设第i栋住宅楼的位置为（ai,bi),服务中心的位置为（x,y)
目标函数：
约束条件：≥30
完整的非线性规划模型：
model:
sets:zzl/1..20/:a,b;
endsets
data:a=29.74 4.
9 69.32 65.0 98.
3 55.27 40.0 19.
8 62.5 73.3 37.
58 0.98 41.98 75.
37 79.38 92.0 84.
47 36.77 62.08 73.
13;b=19.39 90.48 56.
92 63.18 23.44 54.
88 93.16 33.5 65.
5 39.19 62.73 69.
9 39.72 41.37 65.
52 43.5 34.6 75.
2 12.32 86.7;
enddata
min=@sum(zzl(i):(a(i)-x)^2)^(1/2)+(b(i)-y)^2)^(1/2)))
for(zzl(i):(a(i)-x)^2+(b(i)-y)^2)>=900);
end所以，服务中心设置在（1.28,9.90）时离所有楼房的总路程最小，最短距离为1950.088m.
三、目标规划问题。
设要把一种产品从2个产地运到3个客户处，发量、收量及产地到客户的运费单价如下表所示。
这是一个供求不平衡问题，产品缺少1500个单位，因此决定运费方案应按下列目标满足要求：
第一目标，客户1为重要部门，需求量必须全部满足；
第二目标，满足其他两个客户至少75%的需求量；
第三目标，从产地2到客户1的运输量至少要有1000个单位；
第四目标，运费尽量少；
请列出相应的目标规划模型，并用lingo程序求解。
设从产地1运到客户1、客户2、客户3的量分别为a1、a2、a3
从产地2运到客户1、客户2、客户3的量分别为b1、b2、b3
dmij(dpij)表示从产地i 运到客户j超出（低于）预定目标的量。
1）第一目标。
min=dm11+dp11+dm21+dp21;
a1+a2+a3=3000;
b1+b2+b3=4000;
a1+b1+dm11-dp11+dm21-dp21=2000;
a2+b2<=1500;
a3+b3<=5000;
结果：min=dm11+dp11+dm21+dp21=0
a1=0，a2=0，a3=3000
b1=2000，b2=1500，b3=500
2）第二目标。
max=dp12+dp22+dp13+dp23;
a1+a2+a3=3000;
b1+b2+b3=4000;
dm11+dp11+dm21+dp21=0;
a1+b1+dm11-dp11+dm21-dp21=2000;
a2+b2-dp12-dp22=1500*0.75;
a3+b3-dp13-dp23=5000*0.75;
结果：max=dp12+dp22+dp13+dp23=0
a1=1875，a2=1125，a3=0
b1=125，b2=0，b3=3875
3）第三目标。
min=dm21-dp21;
a1+a2+a3=3000;
b1+b2+b3=4000;
dm11+dp11+dm21+dp21=0;
dp12+dp22+dp13+dp23=125;
a1+b1+dm11-dp11+dm21-dp21=2000;
a2+b2-dp12-dp22=1500*0.75;
a3+b3-dp13-dp23=5000*0.75;
a1=1000，a2=0，a3=2000
b1=1000,b2=1250，b3=1750
4）第四目标。
min=10*a1+4*a2+12*a3+8*b1+10*b2+3*b3;
a1+a2+a3=3000;
b1+b2+b3=4000;
dm11+dp11+dm21+dp21=0;
dp12+dp22+dp13+dp23=125;
a1+b1+dm11-dp11+dm21-dp21=2000;
a2+b2-dp12-dp22=1500*0.75;
a3+b3-dp13-dp23=5000*0.75;
b1+dm21-dp21=1000;
dm21-dp21=0;
结果：min=10*a1+4*a2+12*a3+8*b1+10*b2+3*b3=41000
a1=1000,a2=1250，a3=750
b1=1000，b2=0,b3=3000
所以，最优的运送方案为：
运输费用为41000元。
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