全校公共选修课数学建模作业。
姓名学号院系： 学院系
上课校区：二校区上课时间：星期二。
一、2、观察鱼在水中的运动，发现它不是进行水平运动，而是突发性、锯齿形地向上运动，然后向下滑行。可以认为这是在长期进化过程中鱼类选择的消耗能量最小的运动方式。
1）设鱼总是以常速v运动，鱼在水中净重w ，向下滑行的阻力是w在运动方向的分力；向上游动时所需的力是w在运动方向与运动所受阻力之和，而游动的阻力是滑行阻力的k倍。水平方向游动时的阻力也是滑行阻力的k倍。写出这些力的表达式。
2）证明当鱼要从a点到达处于同一水平线上的b点时（见右图），沿折线acb运动消耗的能量与沿水平线ab运动消耗的能量之比（向下滑行不消耗能量）为 (k*sinα+sinβ)/k*sin(α+
3）据实际观察，tanα≈0.2。试对不同的值（1.5, 2, 3），根据消耗能量最小的准则估计最佳的β值。
解：（1）向下滑行的阻力是f1=w sinα,向上游动的力是f2=w （sinβ+k sinα,）
水平游动的阻力是f3=kw sinα。
2）eacb= f2·ac,eab= f3·ab，ac/ab= sinα/ sin（α+
所以eacb与eab之比为。
=（k sinα+ sinβ）/k sin（α+
3）由===0
知满足cos（α+1/k（k>1）
因为tanα=0.2,所以α。
所以解得当k=1.5时，β；
当k=2时，β；
当k=3时，β。
二、1、某银行经理计划用一笔资金进行**投资业务，可供购进的**及其相应信息如下表所示，且有如下规定和限制：
1）市政**的收益可以免税，其它**的收益需要按50%的税率纳税；
2）**及代办机构的**总共至少购进400万元；
3）所购**的平均信用等级不超过1.4（信用等级越小，信用程度越高）；
4）所购**的平均到期年限不超过5年；
请回答下列问题：
1） 若该经理有1000万资金，应如何投资？
2） 在（1）的条件下，如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元，该经理应该如何操作？
3） 在1000万元资金情况下，若**a的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若**c的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？
注：为简化问题起见，题中的税前收益率和利率都与年限无关，即都为固定值。
解：1）设每种证劵分别投资a、b、c、d、e（万元），平均信用等级为x，平均到期年限为y。
投资总金额为q，投资的利润为w（万元），根据条件有。
w=a×4.3％+b×5.4％×50％+c×5.
0％×50％+d×4.4％×50％+e×4.5％=0.
043×a+0.027×b+0.025×c+0.
022×d+0.045×e
平均信用等级 x=(2×a+2×b+c+d+5×e)/ q≤1.4
平均到期年限 y=(9×a+15×b+4×c+3×d+2×e)/q≤5
非负约束所有的证劵投资均为非负值
附加约束 b+c+d≥400
模型分析与假设每种证劵投资资金均为连续变量取值，税前收益率和利率都与年限无关；每种证劵投资资金符合比例性、可加性、连续性。
模型求解根据题设的条件，针对问题一有如下函数关系及约束条件。
w=0.043×a+0.027×b+0.025×c+0.022×d+0.045×e
a+b+c+d+e=1000=q
b+c+d≥400
2×a+2×b+c+d+5×e≤1.4×q=1400
9×a+15×b+4×c+3×d+2×e≤5×q=5000
0≤a≤1000
0≤b≤1000
0≤c≤1000
0≤d≤1000 0≤e≤1000
模型求解，用lingo软件求解，程序如下：
从程序运行的结果中可以得到最优解为：
a=218.1818，b=0，c=736.3636，d=0，e=45.45455,w=29.83636。
即对a中证劵投资218.1818万元，对c中证劵投资736.3636万元，对e中证劵投资45.
45455万元，对b和d中证劵不进行投资，此种投资方案可使投资利润最大为29.83636万元。
2）由（1）中结果知，若资金增加100万元，收益可增加0.0298百万元。大于以2.75%的利率借到100万元资金的利息，所以应借贷。投资方案应变为。
max 0.043 x1+ 0.027x2+0.025x3+0.022x4+0.045x5
x2+x3+x44
x1+x2+x3+x4+x511，该式化简得6x1+6x2-4x3-4x4+36x50， 该式化简得4x1+10x2-x3-2x4-3x50
x1， x2，x3，x4，x50
求解得到：**a、c、e分别投资2.40百万元，8.10百万元，0.50百万元，最大税后收益为0.3007百万元。
3）由（1）的结果中目标函数系数的允许范围（最优解不变）可知，**a的税前收益可增加0.35%，故**a的税前收益增加为4.5%，投资不应改变；**c的税前收益可减少0.
112%，故**c的税前收益减少为4.8%，投资应该改变。
三、2、试用数学思想说明为什么a4打印纸最流行。
解：因为a4纸是一个国际通用的标准，而标准化带来效率。
这个标准最初是被德意志帝国在2024年纳入din（编号是din476），其后被国际标准化组织的iso216定义为今日世界上大多数国家所使用纸张尺寸的国际标准。a4纸是210乘297mm，从人体的视线范围和与纸距离，使得比其他大小容易一览无余，然而更小的使得一会儿就要换行，所以a4效率最高。
然而为什么会使用297mm×210mm这个尺寸呢？
先看比例： 297除以210，得1.414=√2：
1。这个比例的好处就在于将a4纸对折之后，新得到的尺寸还是会保持同一个比例，也就是√2：1。
这就可以让我们使用标准化的纸张，方便的打印成比例放大缩小的文档和图案。
举个反面例子，假如a4的比例为4：3，那我们就会发现对折后，纸的形状变化，会变成3：2
比例确定了之后再看，为什么是297mm×210mm呢：
a3的尺寸是a4的两倍， a3上面还有a2,a1,甚至a0。a4的大小刚好是a0的1/16。所以其实a0才是源头，下面的都是对半分出来的。
那我们来看a0，尺寸为841mm×1189mm，是1㎡(非整数，因为a系列纸的定义是编号少一号的纸张沿着长边对折，然后舍去到最接近的毫米值)。a0的确定，就确定了所有打印纸的标准了。
由于我国使用的是公制单位，所以不仅仅是打印纸，还有很多其他与面积有关的度量是通过平方米这个概念引申出去的。
不仅仅是打印纸的标准，往下信封的大小，甚至邮局邮筒寄信口子的大小也都因为a0的大小一并影响到了。
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