作业11、四脚呈长方形的椅子在不平的地上能放稳吗？
问题分析：把椅子往不平的地面上放，通常是只有三只脚触地，放不稳的，然而，只需要稍微的挪动几次，一般都可以使四只脚同时触地。
模型假设：为了使问题数学化，可以用建模的思想求解，可做如下三种假设。
⑴椅子的四条腿长度一样，四个椅脚与地面均点接触，四角连线呈长方形。
⑵地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断 (没有像台阶那样的情况)，即从数学的角度看，地面是连续曲面。
⑶地面相对平坦，使椅子在任意位置至少有三只脚触地。
模型构成：解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来。
我们很容易注意到，椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转后，椅子仍在原地．把长方形绕它的对称中心o旋转，这可以表示椅子位置的改变。于是，旋转角度这一变量就表示了椅子的位置。为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题，其图形如图一所示；其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来。
图一椅子四只脚旋转示意图。
容易得知当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地。由于椅子在不同的位置是的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是的函数。由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是的函数．而由假设(3)可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的，其函数值至少有三个同时为0，因此，只需引入两个距离函数即可。
考虑到长方形abcd是中心对称图形，绕其对称中心 o沿逆时针方向旋转180°后，长方形位置不变，但a,c和b,d对换了。因此，记a、b两脚与地面竖直距离之和为，c、d两脚与地面竖直距离之和为，其中∈[0，π]从而将原问题数学化。
数学模型：已知和是的非负连续函数，对任意， ＝0，证明：存在∈[0，π]使得＝＝0成立。
模型求解：1.如果＝＝0，那么结论成立。
2.如果与不同时为零，不妨设＞0，＝0。这时，将长方形abcd绕点o逆时针旋转角度π后，点a，b分别与c，d互换，但长方形abcd在地面上所处的位置不变，由此可知，＝，而由＞0，＝0，得＞0，＝0。
令＝－，由和的连续性知也是连续函数。又＝－＞0，＝－0，,根据连续函数介值定理，必存在∈（0，π）使得＝0，即＝；
又因为＝0，所以＝＝0。于是，椅子的四只脚同时着地，放稳了。
2、有四个商人带四个随从过河，船只能容纳2人，由人划。随从们密约：一旦河的任一岸随从数比商人多，就杀商人。
但是乘船渡河的方案由商人决定，且商人已获知该密约，问商人们怎样安全过河？（写出模型即可）
问题分析：多步决策过程。
决策：每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员。
要求：在安全的前提下（两岸的随从数不比商人多）
目标：经有限步使全体人员过河。
模型构成：s~允许状态集合。
s=d=~允许决策集合。
~状态转移律。
多步决策问题：
作业2请举例说明数学建模解决工程研究问题（或者实际生活问题）的例子。有完整的解决过程最好，没有的话，提出问题也可以（只要你认为是可以通过数学建模去解决的）
通过数学建模解决污水处理问题。
问题说明：如图1，有若干工厂的污水经排污口流入某江，各口均有污水处理站，处理站对面是居民点，工厂1上游的江水流量和污水浓度、国家标准规定的水污染浓度以及各个工厂的污水流量和污水浓度均为已知。设污水处理费用与污水处理前后的浓度差及污水流量成正比，每单位流量的污水下降一个浓度单位需要的处理费用(称处理系数)为已知。
处理后的污水与江水混合，流到下一个排污口之前，江水会使污水浓度降低一个比例系数(称自净系数，该系数可以估计)，试确定各污水处理厂出口的污水浓度在符合国家标准规定的条件下为多少时总费用最小。
图1 沿江污水处理点与居民点分布图。
对此问题，我们应先建立一般情况的数学模型再求具体问题。设上游江水流量为，污水浓度为，3个工厂的污水流量均为，污水浓度(从上游到下游排列)分别为100 mg/ l, 60 mg/ l, 50 mg/ l，处理系数均为1万元/，3个工厂之间两段江面的自净系数(从上游到下游)分别为0.9和0.
6国家标准规定水的污染浓度不能超过。
问题分析：将上述情况分为两个问题来解决，问题1：使江面上所有地段的污水达到国家标准，最少需要花费多少？
问题2：如果只要求三个居民点上游的污水达到国家标准，最少需要花费多少？根据上文假设知，三个工厂污水总量均为，从上游到下游工厂污水浓度分别为100 mg/ l, 60 mg/ l和50 mg/ l，上游流量为，上游污水浓度为，3个工厂之间的两段江面的自净系数(上游至下游)为0.
9和0. 6.根据污水处理费用与污水处理前后的浓度关系可以得出，式中：
为污水处理费用，为处理前后的污水浓度差，为污水流量。由假设知处理系数均为1万元，得k= 1，污水经工厂处理站处理后与江水混合流入对面居民点。问题1：
如果使江面上所有地段的污水均达到国家标准，那么各居民点污水的污染浓度均不得超过国家标准()。问题2：要求三个居民点上游的水污染达标，即江水流入各居民点之前均达到国家污水标准。
在分析过程中作如下假设：(1)假设处理前后污水中的杂质均匀地分布在水中。(2)假设污水和江水混合后水的总量不变。
(3)假设除工厂外没有其他污染源。 (4)假设处理过程不受人为因素的影响。
模型的建立与求解：
在问题1中，为了得到所在地段水质都达标的情况下的费用最低方案，得如下方程：
式中，，分别为工厂1，2，3排出的污水经污水处理厂处理后的污水浓度。
1）当江水流过工厂1的处理厂时，江水的浓度为，流量为。问题要求所有地段污水都达标，即排出的污水与江水混合也要达标，也就是说混合后的浓度不超过国家标准，约束条件为：
2）工厂1的污水与江水混合后浓度变为，混合后的江水与工厂2处的污水再混合后的浓度也要达标。约束条件为：
( 3)同理，工厂3处混合后的污水浓度达标的约束条件为：
4)考虑到与实际问题的一致性，处理厂排出的污水浓度，，必须小于工厂排出的污水浓度，即，此时为工厂排出的污水经处理厂处理后的浓度(i= 1,2,3)，为处理厂排出的污水与江水混合的后的浓度(i= 1, 2, 3)，利用lingo软件求解，编写程序如下：
运行知，在满足问题1的要求时，3个污水处理厂排出的污水浓度分别是，此时，污水与江水混合后的浓度分别为，此时可计算得出最低费用为489.5万元。
在问题2中，只要求3个居民点上游的污水浓度达到国家标准，即不需要考虑处理厂排出的污水与江水混合后的浓度，只要在江水流过下一个居民区时，水质达标就可以了。可建立如下方程：
1）工厂1的上游水流过居民区时，满足题目要求，即污水与江水混合后，通过江水的自净功能，到达居民点2时水质达标就可以。居民点2处的江水浓度的约束条件为：
2)从居民点2处流过的江水与工厂3的处理厂排出的污水混合后水质依然要达标。即的约束条件为：
3)与实际一致，污水与江水混合后的浓度要低于工厂排出的污水浓度，即和的约束条件为：；
利用lingo软件求解，编写程序如下：
运行知，满足问题2的要求时，污水处理厂1排出的污水浓度为63. 3 mg/ l，污水处理厂2排出的污水浓度为60 mg/ l，而工厂3的污水可不经过处理直接排入江中。污水与江水混合后在达到第。
二、三个居民区时江水浓度分别为1 mg/ l和0. 78 mg/ l。进而计算得污水处理费用为183. 3万元。
通过上述污水处理问题的数学模型的建立过程可以看到，利用数学建模解决实际问题的基本过程体现了数学思想与数学软件相结合处理实际问题的方便之处。理解数学建模的作用有利于进一步推动数学思想与专业问题的结合。
参考文献。1] 薛毅。数学建模基础[m]．北京：北京工业大学出版社，2004：3-4.
2] 李志林，欧宜贵．数学建模及典型案例分析[m]．北京：化学工业出版社，2007: 160-168.
3]母丽华，周永芳数学建模[m]．科学出版社，2011
4]彭红军，张伟，李媛．微积分[m]．机械工业出版社，2013
5]谭永基等．经济管理数学模型案例教程[m]．高等教育出版社，2006
作业3飞机货舱分为5个区域，每个区域的最大载重（吨）及最大容积(米3)如下表所示。
飞机平衡要求五个货舱中实际载重必须与其最大载重成比例。
现有8种货物待运输，假定每种货物可以分割到任意小，可以在一个或多个货舱中任意分布且多种货物可以混装，8种货物信息如下表所示，问如何装载使本次飞行获利最大？
此题中已经给出假设：
每种货物可以分割到任意小；
每种货物可以在一个或多个货舱中任意分布；
多种货物可以混装，并保证不留空隙。
模型建立：决策变量：用表示第i种货物装入第j个货仓的重量（吨），i=1，2，3，4，5，6，7，8；j=1，2，3，4，5；
决策目标可获得的最大总利润，即目标函数。
约束条件有以下四个：
供装载的八种货物的总重量约束：
五个货仓的重量限制：
五个货仓的空间限制：
五个货仓装入重量的平衡约束：
到这40个变量都是非负数才有实际意义，即。
编程得到：【lingo命令】
model:
max=3100*(x11+x12+x13+x14+x15)+3800*(x21+x22+x23+x24+x25)+3000*(x31+x32+x33+x34+x35)+4000*(x41+x42+x43+x44+x45)+3500*(x51+x52+x53+x54+x55)+2800*(x61+x62+x63+x64+x65)+1400*(x71+x72+x73+x74+x75)+2850*(x81+x82+x83+x84+x85);
哈工大数学建模作业
全校公共选修课数学建模作业。姓名学号院系 学院系 上课校区 二校区上课时间 星期二。一 2 观察鱼在水中的运动，发现它不是进行水平运动，而是突发性 锯齿形地向上运动，然后向下滑行。可以认为这是在长期进化过程中鱼类选择的消耗能量最小的运动方式。1 设鱼总是以常速v运动，鱼在水中净重w 向下滑行的阻力是...
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实验四。解 假设大儿子分得匹骆驼，二儿子分得匹，三儿子分得匹。建立数学模型。目标函数为 约束条件为 且均为整数。相应的lingo程序如下图1 1所示 图1 1运行结果如图1 2所示 图1 2由计算结果可知 酋长共留下了27匹骆驼，大儿子分得14匹骆驼，二儿子分的9匹骆驼，小儿子分得3匹骆驼。解 设表...
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