1. 椅子放平问题。
基本假设。1) 椅子四脚abcd的连线为长方形，且四腿长相同。
2) 地面是略微起伏不平的连续变化曲面。
3) 在任意位置时椅子至少有3个脚着地。
建立模型。以对角线ac所在直线为x轴，对称中心o为原点，建立平面直角坐标系。当椅子以o为中心逆时针旋转角度后，四脚的位置变为a’b’c’d’。
因此椅脚与地面的距离是关于的连续函数，记a,c两脚与b,d两脚到地面的距离之和分别为和。
由此原问题可表述为：已知连续函数，，且，若且，求证：存在，使得成立。
求解模型。设。
因为且。所以。
令 ()此时ac到达原先bd的位置。
故有， 所以。
因为是连续函数，且，，又连续函数的零点定理可知存在，使得成立。又因为，故也成立。证毕。
2. 过河问题。
建立模型。设第k次渡河前此岸的人、猫、鸡、米数量分别为。并假设人、猫、鸡、米的总数都为2。将四维变量定义为状态。保证猫不吃鸡，鸡不吃米的状态的集合称为允许状态集合，记作。
设为第k次的渡河方案，，其中分别为人、猫、鸡、米的数量。设允许的决策集合为d，有。
建立状态转移方程，用来表示第k次渡河的规律。
求解模型。用c++编写**来求解。
#include
#include
constintmaxw=2;
constintmaxx=2;
constintmaxy=2;
constintmaxz=2;
bool s[maxw+1][maxx+1][maxy+1][maxz+1];
int d[5][4]=
int step[maxw+1][maxx+1][maxy+1][maxz+1];
struct path_st
void searchpath(int k,int m,int n,int p,int q, path_st *lastpath)
/ 记忆化搜索(动态规划)
if(step[m][n][p][q]==0|| k < step[m][n][p][q]){
step[m][n][p][q]= k;//记录渡河次数。
path[m][n][p][q].last =lastpath;//记录路径。
path[m][n][p][q].nums= m *1000+ n *100+ p *10+ q;
if(path[m][n][p][q].nums==0)return;
else{return;
int flag =1;
for(inti=0;i< k;++i) flag *=1;//1^k
intm_t,n_t,p_t,q_t;
for(inti=0;i<5;++i){
/ 状态转移。
m_t= m + flag * d[i][0];
n_t= n + flag * d[i][1];
p_t= p + flag * d[i][2];
q_t= q + flag * d[i][3];
if(s[m_t][n_t][p_t][q_t]
&m_t>=0&&n_t>=0&&p_t>=0&&q_t>=0
&m_t<=maxw&&n_t<=maxx&&p_t<=maxy&&q_t<=maxz){
searchpath(k +1,m_t,n_t,p_t,q_t,&path[m][n][p][q]);搜索。
voidoutputpath()
std::stackpathnode;
path_st *pcurrent;
for(pcurrent=&path[0][0][0][0];pcurrent->last !=nullptr;pcurrent=pcurrent->last){
nums);
nums);
while(>0){
std::cout<<<
int main(void)
inits();
searchpath(1,2,2,2,2,null);
outputpath();
std::cout<<"最少渡河次数k=" 输出结果：最少渡河次数k=0 说明在人、猫、鸡、米的总数都为2时，问题无解。 3. 贷款问题。 设为第k个月的欠款额，r为月利率，x为每个月的还款额，则有。因此。 在第n个月时将贷款还完，即。 可导出每个月还款额。 代入数据，， 得到每月还款额x = 1574.70元。 共还款377928.00元。 共付利息177928.00元。 5年后(60个月)的欠款额为元。 设第6年初欠款额为，其它参数意义不变，仍有。 代入数据，， 得到每月还款额x = 1817.33元。 由题意，可将新的每月还款额视为，总月数。 每月还款额。 其中，因为借贷公司将提前3年还清。代入数据，， 得到， 总还款额286520.00元。 加上佣金（贷款总额的10%）后共要支付296520.00元，小于独立还款时的总还款额。 因此应该请借贷公司。 4. 冷却定律与破案。 求解模型。由题意得。 代入，求得该微分方程的通解为。 又有。解得。 求得温度t随时间t变化的表达式。 令t为人体正常体温36°，求得时间。 因此，**案的发生时间大约在凌晨04:36左右。 5. 锻炼想象力、洞察力和判断力的题目。 1) 答：原问题可转化为：小王从早8点开始上山，下午5点到山顶，小李从早8点开始下山，下午5点到山底，且他们走的路径相同。 因此，在这9个小时的时间里，必有某一时刻t他们在山上相遇。亦即原题中小王上山和下山时总有某一时刻t在同一位置。 2) 答：做乙站车的概率是做甲站车的概率的9倍，因此。 乙站车到达丙站的时刻表为8:09, 8:19, 8:29… 甲站车到达丙站的时刻表为8:00, 8:10, 8:20… 乙站发车比甲站早1分钟。 3) 答：之所以提前了10分钟到家，是因为妻子在到达火车站前就接到了张先生，省下的10分钟等价于妻子从相遇处继续驱车往返火车站所用的时间，而按正常情况来讲妻子应该在18:00抵达火车站，所以妻子是在17: 55时与张先生相遇，由此可知张先生步行的时间为25分钟。 4) 答：男孩和女孩都需要走半小时到家，而当他们到家时狗也一定到家，即狗一共也跑了半小时，所以狗跑的总路程为0.5*6=3公里。 男女孩去上学时，因为题干中未说明狗先奔向谁，所以无法确定狗最终的位置。 6. 公平投票问题。 设第n个评委的给分为x(n)，则在所有人均投票的情况下，甲的分数为。 若有一个评委不参与投票，甲的分数为。 则。由上式可知，若n-1个评委的给分大于或小于第n个评委给分的n-1倍，对甲会有影响。所以甲的抱怨有道理。 解决方法：提出一个和的折衷函数，且满足： 1) 为关于p的单调递增函数。 3)q(0)=0, q(n-i)=1 可用和的几何平均值来定义一个相对公平简明的度量函数，即。 以该函数来度量得分，即可保证相对公平。 实验四。解 假设大儿子分得匹骆驼，二儿子分得匹，三儿子分得匹。建立数学模型。目标函数为 约束条件为 且均为整数。相应的lingo程序如下图1 1所示 图1 1运行结果如图1 2所示 图1 2由计算结果可知 酋长共留下了27匹骆驼，大儿子分得14匹骆驼，二儿子分的9匹骆驼，小儿子分得3匹骆驼。解 设表... 1 生产计划安排。解 1 设生产4种电缆数量分别为x1，x2，x3，x4 最大获利为max 9.4 x1 10.8 x2 8.75 x3 7.8 x4公式1 限制条件 10.5 x1 9.3 x2 11.6 x3 8.2 x4 4800 20.4 x1 24.6 x2 17.7 x3 26.5 x4... 解 1 平方和最小，根据最小二乘方法求解，相应的无约束问题为，将 0,1换成a,b，则 sets quantity 1.50 x,y endsets data x 4,4,7,7,8,9,10,10,10,11,11,12,12,12,12,13,13,13,13,14,14,14,14,15,15...北工大数学建模作业
北工大数学建模实验
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