习题2作业讲评。
1. 继续考虑2.2节的“汽车刹车距离”案例，请问“两秒准则”和“一车长度准则”一样吗？
“两秒准则”是否足够安全？对于安全车距，你有没有更好的建议？（“两秒准则”，即后车司机从前车经过某一标志开始，默数2秒之后到达同一标志，而不管车速如何。
刹车距离与车速的经验公式，速度单位为m/s，距离单位为m）
解答。（1）“两秒准则”表明前后车距与车速成正比例关系。 引入以下符号：
d ～ 前后车距（m）；v ～ 车速（m/s）；
于是“两秒准则”的数学模型为。 与“一车长度准则”相比是否一样，依赖于一车长度的选取。
比较与，得：
所以当（约合54.43 km/h）时，有dd，即前后车距小于刹车距离的理论值，不够安全。 也就是说，“两秒准则”适用于车速不算很快的情况。
另外，还可以通过绘图直观的解释“两秒准则”够不够安全。 用以下matlab程序把刹车距离实测数据和“两秒准则”都画在同一幅图中（图1）.
v=(20:5:80).*0.44704;
d2=[18,25,36,47,64,82,105,132,162,196,237,283,334
d2=0.3048.*d2;
k1=0.75; k2=0.082678; k2=2;
d1=[v;v;v].*k1;
d=d1+d2;
plot([0,40],[0,k2*40],'k')
hold on
plot(0:40,polyval([k2,k1,0],0:40),'k')
plot([v;v;v],d,'ok','markersize',2)
title('比较刹车距离实测数据、理论值和两秒准则')
legend('两秒准则','刹车距离理论值',.
'刹车距离的最小值、平均值和最大值',2)
xlabel('车速v（m/s）')
ylabel('距离（m）')
hold off
图12）用最大刹车距离除以车速，得到最大刹车距离所需要的尾随时间（表1），并以尾随时间为依据，提出更安全的“t秒准则”（表2）——后车司机根据车速快慢的范围，从前车经过某一标志开始，默数t秒钟之后到达同一标志。
表1 尾随时间。
表2 t秒准则。
绘制图2的matlab程序：
v=(20:5:80).*0.44704;
d2=[18,25,36,47,64,82,105,132,162,196,237,283,334
d2=0.3048.*d2;
k1=0.75; k2=0.082678;
d=d2+[v;v;v].*k1;
vi=0:40;
plot([0,10*0.44704],[0,10*0.44704],'k',.
vi,k1.*vi+k2.*vi.*vi,'k:',
[v;v;v],d,'ok','markersize',2)
legend('t 秒准则','刹车距离理论值',.
'刹车距离的最小值、平均值和最大值',2)
hold on
plot([10,35]*0.44704,2*[10,35]*0.44704,'k',.
[35,60]*0.44704,3*[35,60]*0.44704,'k',.
[60,75]*0.44704,4*[60,75]*0.44704,'k')
title('t 秒准则，刹车距离的模型和数据')
xlabel('车速v（m/s）')
ylabel('距离（m）')
hold off
图24. 继续考虑2.3节“生猪**时机”案例，假设在第t天的生猪**的市场**（元/公斤）为。
其中h为**的平稳率，取h=0.0002. 其它模型假设和参数取值保持不变。
1） 试比较(1)式与(2.3.1)式，解释新的假设和原来的假设的区别与联系；
2）在新的假设下求解最佳**时机和多赚的纯利润；
3）作灵敏度分析，分别考虑h对最佳**时机和多赚的纯利润的影响；
4）讨论模型关于**假设的强健性。
解答一（用matlab数值计算）
1）比较(1)式与(2.3.1)式，(1)式表明**先降后升，(2.
3.1)式假设**匀速下降，(1)式更接近实际（图3）. 两个假设都满足，在最佳**时机附近误差微小（图4）.
绘图的程序。
p=@(t)12-0.08*t+0.0002*t.^2;
figure(1)
n=400;
plot([0,n],[12,12-0.08*n],'k:',
0:.1:n,p(0:.1:n),'k')
axis([0,400,0,20])
title('模型假设(1)式与(2.3.1)式的比较')
legend('p(0) -g t1)式',.
'p(0) -g t + h t^2 (2.3.1)式')
xlabel('t（天）')
ylabel('p（元/公斤） '
figure(2)
n=20;plot([0,n],[12,12-0.08*n],'k:',
0:.1:n,p(0:.1:n),'k')
title('模型假设(1)式与(2.3.1)式的比较')
legend('p(0) -g t1)式',.
'p(0) -g t + h t^2 (2.3.1)式')
xlabel('t（天）')ylabel('p（元/公斤） '图3图4
2）在(1)式和(2.3.1)式组成的假设下，多赚的纯利润为。
保留h，代入其他具体数值，得。
令。解得生猪**时机为。
舍去负根）多赚的纯利润为。
代入h=0.0002，得天，元。
或者用matlab函数fminbnd计算，脚本如下：
c=@(t)3.2*t;
w=@(t)90+t;
p=@(t,h)12-0.08*t+h*t.^2;
q=@(t,h)p(t,h).*w(t)-c(t)-90*12;
qh=@(t)-q(t,0.0002);
t1=fminbnd(qh,0,30)
q1=q(t1,0.0002)
为帮助理解，可用以下脚本绘制图5：
figure(2)
tp=0:250;
plot(tp,q(tp,0.0002),'k')
title('纯利润q')
xlabel('t（天）')
ylabel('q（元） '
图53）用以下matlab脚本计算灵敏度和，将结果列表。
结论：h的微小变化对t和q的影响都很小。
qh=@(t)-q(t,0.0002*1.01);
tn,qn]=fminbnd(qh,0,30);
tn-t1)/t1/0.01
-qn-q1)/q1/0.01
qh=@(t)-q(t,0.0002*1.05);
tn,qn]=fminbnd(qh,0,30);
tn-t1)/t1/0.05
-qn-q1)/q1/0.05
qh=@(t)-q(t,0.0002*1.1);
tn,qn]=fminbnd(qh,0,30);
tn-t1)/t1/0.1
-qn-q1)/q1/0.1
表3 数值计算最佳**时机t对h的灵敏度。
表4 数值计算多赚的纯利润q对h的灵敏度。
4）市场**是经常波动的，如果****，往往会止跌回稳，模型假设(1)式以二次函数来刻画**止跌回升的变化趋势，如果考虑的时间段长达数月，(1)式比(2.3.1)式更接近实际（见图3），但是本问题的最佳**时机不超过20天，(1)式与(2.
3.1)式在最佳**时机附近非常近似（见图4），(1)式导致的模型解答可以由(2.3.
1)式导致的解答加上灵敏度分析所代替。 所以采用更为简单的(2.3.
1)式作为假设更好。
具体分析如下：
由，得。代入h=0.0002，t=13.82852279，g=0.08，得。
由于，根据课本2.3节，代入，t=10，算得，与t=13.829只相差两天。
用于以上分析计算的matlab脚本：
dg_g=(12-p(ts,0.0002))/ts/0.08-1
10+dg_g*10*(-5.5)
解答二（用matlab的symbolic math toolbox的mupad软件符号计算）
章绍辉数学建模第二章
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