章绍辉数学建模第二章

第二章习题二。

1）按照“两秒准则”表明前后车距与车速成正比，这和“一车长度准则”是类似的。在2.2节的基础上引入下面的符号：

d～前后车距（m）

v～车速（m/s）

k～按照“两秒准则”，d与v之间的比例系数（s）,在“两秒准则”中，k=2

于是“两秒准则”的数学模型为。

而刹车距离的数学模型为。

要考虑“两秒准则”是否安全，即要比较d与d的大小。

代入k1=0.75v，k2=0.082678，k=2，所以当d>d，即刹车距离的理论大于前后车距时，认为不够安全；当d计算得到当速度超过15.

12 m/s时，“两秒准则”就不安全了，也就是说“两秒准则”适用于车速不是很快的情况。

另外，还可以通过绘图直观解释为什么“两秒准则”不够安全，用以下程序把刹车距离实测数据与“两秒准则”都画在同一幅图中：

v=(20:5:80).*0.44704;

d2=[18,25,36,47,64,82,105,132,162,196,237,283,334

d2=0.3048.*d2;

k1=0.75; k2=0.082678; k=2;

d1=[v;v;v].*k1;

d=d1+d2;

plot([0,40],[0,k*40],'k')

hold on

plot(0:40,polyval([k2,k1,0],0:40),'k')

plot([v;v;v],d,'ok')

title('比较刹车距离实测数据、理论值和两秒准则')

legend('两秒准则','刹车距离理论值',.

'刹车距离的最小值、平均值和最大值',2)

xlabel('车速v（m/s）')

ylabel('距离（m）')

hold off

2）“两秒准则”的不安全性在于，其刹车距离随着车速增长的速度赶不上理论刹车距离的增长速度，为此我们提出一个“t秒准则”，通过不断增加t的值使得刹车距离总是大于理论刹车距离。下面先利用式（1）求出不同速度下t的临界值（其中d-d=0，k1=0.75v，k2=0.

082678，k=t）

matlab程序：

v=(20:5:80).*0.44704;

d2=[22,31,45,58,80,103,131,165,202,245,295,353,418];

d2=0.3048.*d2; %最大理论反应距离。

k1=0.75; k2=0.082678;

d1=[v].*k1; %最大理论制动距离。

d=d1+d2; %最大理论刹车距离。

t=d./v;

故我们可以考虑下面的“t秒准则”

下面通过绘图直观解释 “t秒准则”的安全性，用以下程序把刹车距离实测数据与“t秒准则”都画在同一幅图中：

v=(20:5:80).*0.44704;

d2=[18,25,36,47,64,82,105,132,162,196,237,283,334

d2=0.3048.*d2;

k1=0.75; k2=0.082678;

d1=[v;v;v].*k1;

d=d1+d2;

plot(0:40,polyval([k2,k1,0],0:40),'k')

hold on

plot([0,15.646],[0,2*15.6464],'k',.

[15.6464,26.8224],[2*15.6464,3*26.8224],'k',.

[26.8224,33.5280],[3*26.8224,4*33.5280],'k')

plot([v;v;v],d,'ok')

title('比较刹车距离实测数据、理论值和t秒准则')

xlabel('车速v（m/s）')

ylabel('距离（m）')

hold off

1）在在2.3节的“生猪**时机”案例的条件下，研究每天投入的资金c对最佳**时机t的影响：

定义t对c的灵敏度为。

在实践中，由上式定义的灵敏度需要数值计算得到列表的结果如下表所示（c=3.2，t=10）：

由上表可知c的微小变化对t的影响很大，即t对c不灵敏。

2）在2.3节的“生猪**时机”案例的条件下，研究每天投入的资金c对多赚的纯利润qmax的影响：

定义q(t)对c的灵敏度为。

在实践中，由上式定义的灵敏度需要数值计算得到列表的结果如下表所示（c=3.2，qmax=8）：

由上表可知c的微小变化对qmax的影响很小，即qmax对c不灵敏。

1）通过matlab画图比较（1）式与（2.3.1）式得图像如下，其中实线为（1）式图像，虚线为（2.3.1）式图像：

matlab**：

hold on;

p1=@(t)12-0.08*t+0.0002*t.^2;

p2=@(t)12-0.08*t;

t1=0:.1:400;

plot(t1,p1(t1));

plot(t1,p2(t1),'

axis([0,400,0,15]);

xlabel('t');

ylabel('p(t)')

当t取[0,20]时，图像如下：

matlab**：

hold on;

p1=@(t)12-0.08*t+0.0002*t.^2;

p2=@(t)12-0.08*t;

t2=0:.1:20;

plot(t2,p1(t2));

plot(t2,p2(t2),'

xlabel('t');

ylabel('p(t)')

由图像可知（1）式假设**先降后升，（2.3.1）式假设**匀速下降，且（1）式和（2.3.1）式在最佳**时机t=20时误差很小，但（1）式更加接近实际。

2）由（1）式和（2.3.1）式算出在（1）式假设下多赚的纯利润为。

代入具体数值得。

通过matlab画图得函数q(t)的图像如下：

matlab**：

q=@(t)0.0002.*t.^3-0.062.*t.^2+1.6.*t;

t1=0:.1:300;

plot(t1,q(t1));

xlabel('t');

ylabel('q(t)')

令。解得q(t)的极大值点为。

天）则多赚的纯利润为。

元）3）分别定义t对h的灵敏度和q(t)对h的灵敏度为。

和。在实践中，由上式定义的灵敏度需要数值计算得到列表的结果如下表所示：

由上表可知h的微小变化对t和q(t)的影响都很小，即t和q(t)对h都不灵敏。

4）通常市场的**是会波动的，某件商品的**一般不会一直下降，当**下降到一定程度的时候往往会趋于稳定，所以（1）式对于长时间的模拟会比较接近实际，但本题考虑的时间不超过20天，（2.3.1）式与（1）式相比误差非常小，故本题应采用更简单的（2.

3.1）式作为假设。

1）要使，则只需令。

即。当wm=270，w0=90时，通过matlab画图比较（2）式与（2.3.2）式得图像如下，其中实线为（2）式图像，虚线为（2.3.2）式图像：

matlab**：

hold on;

w1=@(t)90*270./(90+180.*exp(-t./60));

w2=@(t)90+t;

t1=0:.1:400;

plot(t1,w1(t1));

plot(t1,w2(t1),'

xlabel('t');

ylabel('w(t)')

axis([0,400,0,300]);

当t取[0,20]时，图像如下：

matlab**：

hold on;

w1=@(t)90*270./(90+180.*exp(-t./60));

w2=@(t)90+t;

t2=0:.1:20;

plot(t2,w1(t2));

plot(t2,w2(t2),'

xlabel('t');

ylabel('w(t)')

由图像可知（2）式假设**先升后逐渐平稳，（2.3.2）式假设**匀速上升，且（2）式和（2.3.2）式在最佳**时机t=20时误差很小，但（2）式更加接近实际。

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