作业：p 20
1. 举出一个实例说明建立数学模型的必要性，包括实际问题的背景，建模目的，需要大体上什么样的模型以及怎样应用这种模型。
cumcm2002a题车灯线光源的优化设计。
安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方，其开口半径36毫米，深度21．6毫米。经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度。
该设计规范在简化后可描述如下。在焦点f正前方25米处的a点放置一测试屏，屏与fa垂直，用以测试车灯的反射光。在屏上过a点引出一条与地面相平行的直线，在该直线a点的同侧取b点和c点，使ac二2ab：
2．6米。要求c点的光强度不小于某一额定值(可取为1个单位)，b点的光强度不小于该额定值的两倍(只须考虑一次反射)。
请解决下列问题。
(1)在满足该设计规范的条件下，计算线光源长度，使线光源的功率最小。
(2)对得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区。
(3)讨论该设计规范的合理性。
车灯线光源的优化设计。
王伟叶， 姜文华， 吴家麒。
指导老师： 曹沅。
复旦大学数学系，上海200433)
编者按：本文的一个有点是能从入射角等于反射角，入射向量，，可能有几个反射点(反射光线)可以反射到c点(类似的b点)，尽管没有指出有可能会有三个反射点。本文的另一个优点是能对本文所作的近似假设的合理性作比较仔细的分析。
本文在计算亮区时能用两种方法计算并作了比较。
摘要：本文首先将车前灯线光源的优化设计问题通过合理的假设、近似和数学推理归结为一个求函数最值的模型，进而通过matlab的符号计算和绘图功能求解。得到了切合实际的解答，其次对该长度的光源在测试屏上产生的反射光亮斑用两种不同的方法进行了绘制，最后对题中所提及的设计规范进行了分析，阐述了其合理性。
在第一个问题上我们将着眼点主要放在从光源上同一点出发经过直射或反射到达屏上某点(b或c)的光线的条数上，而忽略了其它因素诸如光程及入射角等带来的影响。，用madab求符号解，利用反射关系在光源上的点和镜面上的点之间作对应，进而画出函数图像来分析光线的条数多寡。在明确光源上海一点对光屏上b、c点的“贡献”后构造合理的目标函数，用matlab编程计算，画图求最大值。
最后我们得到最合理的光源长度应为3．82毫米左右。
针对第二个问题我们首先建立了三个关于光线传播和光线被截断时必须满足的条件的相关定理，然后采取了两种各有长处的描绘方法并用matlab软件加以实现。其一是描点法，即在光源和抛物面上都每隔一定距离取出一个点进行计算。其二是线段法，线段法的理论根据是线段在抛物面上一点的反射下，投影在屏上图像仍然是线段而且保持线段上各点的比例不变，于是可以在镜面上取一些密集的点，将光源通过其中每一点的反射像叠加，就得到屏上的亮区。
两张图在轮廓上是完全一致的，都是长约为6米，高约为2米的纺锤形。而前者在屏上光的强度方面能观察得更清晰，后者在速度和轮廓清晰度上更占优势。
而对第三个问题即该设计规范合理性的分析，我们从三个不同的角度进行了**，其一是遭遇突发情况时汽车司机的反应，其二是在整个空间范围内的光强度，其三是光的强度分布。
在模型的评价部分，我们对近似假设的合理性作了量化的分析，在光源长度假设上，我们结合实际对其合理性作了验证。最后还对模型的优缺点作了分析，并在一定程度上介绍了其推广前景。
关键词：连续模型；函数最值。
分类号：ams(2000)49k35 中图分类号：0224 文献标识码：a
1 问题重述(略)
2 模型假设。
h1.只考虑葱光源直接照射或经一资热反射照到b、c两点的光线，反射两次以上的光线不予考虑。
h2.经查阅资料后，假设旋转抛物面的反射诫经为0.95，即经过抛物面一次反射后光强损失5%。
h3.光源视为一条均匀发光的线段，不考虑其粗细。
h4.当光源长度一定时，屏上点的光强度与光源功率成正比。
h5.光源上所有的点经一次反射后到屏上同一点的光程和人射角视为相同。光源上所有的点直射到屏上同一点的光程和人射角也视为相同（这条假设的合理性在误差分析中将提到）。
h6.光源的长度不能太长（这条假设的合理性将在模型评价中提到）
3 符号说明。
s：旋转抛物面。
f：旋转抛物面的焦点（0,0,15）
k：主光轴x=y=0
l：线光源（长度为2b）
b：光屏上的给定点（2600,0,25015）
c：光屏上的给定点 (1300,0,25015)
p：单位长度的功率。
当p0=1时，b点的光强度关于光源长度2b的函数。
当p0=1时，c点的光强度关于光源长度2b的涵数。
w：线光源的总功率w=2bp。
曲面s上的某点。
t:c点的光强度不小于额定值t,b点的光强度不小于额定值2t
4 问题分析。
当c点的光强度不小于t,b点的光强度不小于2t时，要求光源的功率最小。换句话说，若，我们要求的最小值。
因为，所以而此处t为一常值，因而只要求的最小值。或者求（）的最大值。
5 模型的建立。
线光源长度计算模型我们先分析光屏上点c的情况。对于线光源上一点m，光线可以直接从m照射到c，也可以从m经过一次反射照到c，因此光屏上点c的光强度由直射光线和反射光线叠国决定，我们来仔细分析一下反射光线的路径。
1).设光源位于平面xoz上，则在平面xoz上至少存在一条路径从m经拓展后的抛物面反射到c。事实上，对于直线上任意一点，在xoz平面上必定存在这样一条路线。
为了寻找这样的反射点r，设r的坐标为，在平面xoz中过点r的抛物线的切线记为，那么与mr的夹角相同。现抛物线的方程为处切线的斜率为（2600,0,25015），rm的斜率为，，根据平角的计算公式，得到。
2).光线还可以经xoz平面以外的点t反射到点c，记过抛物面上点t的法线为，mt，，tc在同一平面上，这里则。那么，它们的混合积为零。
即。由于mt与的夹角相同得根据空间向量的内积可以得到。另外还有。
从上面的三个式子解出的所有就是所要求的反射点。
由上述两点的分析，我们可以得知从线光源上的每一点m出发，在xoz平面以外有多少条路径反射到c，再利用假设中提到的反射系断0.95，并结合从m直射到c的光线，就得到了光源上任意一点m对点c的光强贡献，从最后的计算结果来看，光强贡献相同的点呈区间分布（即可以对线光源作分割，使得同一段内的点对点c的光强贡献相同，这类似于lebesgue积分中的阶梯涵数）。最后，在整个线光源上对光强贡献积分，我们得到了线光源长度2b与c点光强的关系。
至此，第一题的模型建立完毕。
反射光的亮区我们来设法画出反射光的亮区。为此，建立几个定理（略）。
6 模型的求解。
6.1 线光源长度计算。
要求得的具体值，除了假设中的距离，角度以外，我们还需要知道，从光源上的每一点出发的光线有多少条能够经过抛物面s反射到b点或者点c点。前文中已尼详细叙述了从一点（x,0,15）出发的光线经过旋转抛物面上点反射后经过点c（2600,0,25015）或点b（1300,0,25015）的充分必要条件。此处我们将对这些方程进行分析，运用数学软件matlab来计算出对于满足的每组（）究竟有几条光线能最终经过反射到达b点及c点。
以c（2600,0,25015）点为例。
首先由方程。
我们知道如果能够反射到c点的话，那么反射点需满足或者。
时完全是一个平面上的问题，因此我们分两种完全不同的情况的加以讨论。
第一类：反射点在xoz平面上（即平面上）
光路是可逆的，我们不防假设光线是从c点（2600,0,25015）出发经过抛物线x2=60z，上一点反射然生和线段交于（）。将视做的函数，再研究对的第个x1有多少个可作为它的原像，原像的个数就是在平面上，由（）出发经反射后经过c点的光线的条数。
利用的符号计算功能来解方程。我们得到了关于的涵数如下：
将之绘成图像，并截取其中的部分如下：
从图中可以看出，在时原像为两个，在在时原像为一个。其中，为函数在区间[-30,-1.5541]时有两条反射到c点的光线，时没有反射到c点的光线，时有一条反射到c点的光线，类似地对于b点，通过图像我们用同样的方法得以结论：
当时有两条反射到b点的光线，时没有反射到b点的光线，时有一条反射到b点的光线，时有一条反射到b点的光线。
第二类：反射点不在y=0平面上，仍以c点为例。
此时由三向量共面肯，得到是一一对应的，这意味着可能使从（）发出的光线反射到c点的反射点均在抛物面和某一垂直于主轴的平面的交线，即一个圆周上。当从0变化到21.6时，从-1.
5609单调变化到-3.8120。当一定时两条光线所在的方向（2600-，-25015-），15-）与法线之间的夹角的差关于的函数并作图观察零点的个数，零点的个数就是反射光线的条数。
我们列举一些图像如下：
图中横轴为，从0到2，纵轴为两条光线与法线的夹角的余弦值的差。
上两个图是=1的情况下的函数图像，下两个图是=10的情况下的涵数图像。
左边的是为了观察零点的个数，而将图像的高度限制在的区间内。
对0到21.6中的一大批进行计算和绘图，发现当在0到0.0005内涵数无零眯，当在0.0005到21.6中变化时函数均有两个零点。
对=0.0005,21.6分别算出相应的。
所以当时有两条反射到c点的光线，其余位置没有反射到c点的光线。
对于b点，类似可得当时有两条反射到b点的光线，其余位置没有反射到b点的光线。
把以上这些数据综合起来我们得到如下的两张**：
有了这些数据，我们就可以编程对目标函数进行分析进而法语其最大值了。
差分方程数学建模举例
差分方程建模方法的思想与与一般数学建模的思想是一致的，也需要经历 背景分析 确定目标 预想结果 引入必要的数值表示 变量 常量 函数 积分 导数 差分 取最等 概念和记号 几何形式 事物形状 过程轨迹 坐标系统等 也就是说要把事物的性态 结构 过程 成分等用数学概念 原理 方法来表现 分析 求解。当...
初中数学建模常见类型及举例 有答案
市2014 2015学年度下学期期末调研考试。七年级数学试题。温馨提示 1 本科考试分试题卷与答题卷，考生须用钢笔或圆珠笔将试题答案写在答题卷中相应位置，不得在试题卷上直接作答，考试完毕后只交答题卷 2 试题卷共4页，共25小题，满分120分，考试时限120分钟 3 在密封区内写明校名，姓名，班级和...
数学建模作业
1992年全国数学建模a题数据分析。对土豆和生菜，分别建立施肥量和产量之间的多元关系，运用excel和matlab软件依次采用散点法和拟合关系进行绘图显示。在确认模型具有完美的基础上，进行线性相关 交互作用 最佳响应水平 强影响变量等的分析。同时，将两种作物进行比较，得出一系列颇有实用价值的结论。分...