数学建模作业

数学建模作业---第二章。

微分方程稳定性分析。

1）由解得平衡点， ,

特征值， ,

∴是不稳定点。

matlab作图程序：

x=[-5:0.1:5];

fora=-5:0.1:5; y=a*x;

plot(x,y);hold on;

endxlabel('x');ylabel('y');

得到图形：2）由解得平衡点， ,

特征值， ∴是不稳定点。

matlab作图程序：

y=[0:0.1:10];

for a=-5:0.5:5;

x=a./(y.^(0.5));

plot(y,x);hold on;

endxlabel('y');ylabel('x');

得到如下图形：

3）由解得平衡点， ,

特征值，是不稳定点。

用matlab作图程序如下：

x=[0:0.01:5]; for a=-10:0.1:10;

y=((2)*x.^2+a).^0.5;

plot(x,y);hold on;

endxlabel('x');ylabel('y');

得到如下图形：

4）由解得平衡点， ,

特征值， ,

∴是稳定点。

用matlab程序作图如下：

x=[-5:0.01:5]; for a=-5:0.5:5;

y=a*(x.^2);

plot(x,y);hold on;

endxlabel('x');ylabel('y');

得到如下图形：

种族增长模型：

由题意，得到菌落的细菌数目n(t)变化的模型为：

设g(t)= 则令g(t)=0,得到。

n=0或n=

所以此模型的平衡点为n=0或，并且可以得到：

当0当n>时，n’(t)>0。

设g’(t)=

令g’(t)=0，得：

n=0或或。

分析得到：当00;当当n>时，n”(t)>0;

画出趋势图形为：

分析：是稳定的，是不稳定的，即表示当种群数量小于时，病菌会随时间变化逐渐减少0，趋于稳定；当初时病菌数量恰好为时，数量并不会随时间改变；当初时病菌数量大于时，则会随时间逐渐增加；

有限资源竞争模型。

由得到：x2=0或x1=0,x2=或x1=，x2=0

三个平衡点：

1. 对于，系数矩阵，所以不稳定。

2．对于，系数矩阵，，。

∴，是稳定的。

当时，当时，

3.对于，系数矩阵，，

∴，不稳定。

所以，当时，物种二最终要灭亡。

对于线性方程组在平面上表示两条直线和。

当和，直线和将第一象限分成三个区域ⅰ，ⅱ

在区域i中，x2’(t)>0,随着时间t物种2数量增加，到达直线时，有=0,即此刻趋常数，说明曲线平行于横轴过度到区域ii。

在区域ii中，物种2数量减少，物种1增加。当经过直线时， =0，即此刻为一常数，说明曲线是垂直于横轴向下过度到区域iii的。

在区域iii中， <0说明物种2随时间变化数量减少，最终消失。综上分析：物种二最终要灭亡。

图如下：蝴蝶效应和混沌解。

1)建立描述微分方程组的外部函数（函数名：

functionxdot=lorenz(t,x)

xdot=[-8/3*x(1)+x(2)*x(3);

10*x(2)+10*x(3);

x(1)*x(2)+28*x(2)-x(3)];

输入。t,x]=ode45(@lorenz,[0 100],[0 0 1e-10]);

plot(x(:,2), x(:,1));

xlabel(''

ylabel(''

再输入[t,x]=ode45(@lorenz,[0 100],[0 0 1e-10]);

plot(x(:,2), x(:,3));

xlabel(''

ylabel(''

再输入。t,x]=ode45(@lorenz,[0 100],[0 0 1e-10]);

plot(x(:,3), x(:,1));

xlabel(''

ylabel(''

再输入。t,x]=ode45(@lorenz,[0 100],[0 0 1e-10]);

plot(x(:,3), x(:,1));

xlabel(''

ylabel(''

得到如下图形：

改变初始值，即：，，2

输入：t,x]=ode45(@lorenz,[0 100],[1 12]);

plot(x(:,2), x(:,1));

xlabel(''

ylabel(''

输入：[t,x]=ode45(@lorenz,[0 100],[1 12]);

plot(x(:,2), x(:,3));

xlabel(''

ylabel(''

输入：t,x]=ode45(@lorenz,[0 100],[1 12]);

plot(x(:,3), x(:,1));

xlabel(''

ylabel(''

图形如下：分析：通过两**形的对比，我们可以看出当初始值改变后，图形基本不变，只有略微变化。

用微分方程考察共振现象。

通过受力分析，得到弹簧的运动微分方程。

由题，g取9.8

则：h=0时：

用matlab求解：

>x=dsolve('d2x+4*x=0','x(0)=1,dx(0)=0','t')

x =cos(2*t)

> t=0:0.05:5;x=cos(2*t);

>plot(t,x);tlabel('t');xlabel('x');

得到h=0时的图：

h=0.1时：

用matlab求解：

> x=dsolve('d2x++0.2*dx+4*x=0','x(0)=1,dx(0)=0','t')

x =cos((399^(1/2)*t)/10)/exp(t/10) +399^(1/2)*sin((399^(1/2)*t)/10))/399*exp(t/10))

>t=0:0.05:

5;x=cos((399^(1/2).*t)/10)./exp(t/10)+(399^(1/2)*sin((399^(1/2).

*t)/10))/399.*exp(t/10));

plot(t,x);tlabel('t');xlabel('x');

得到h=0.1时的图：

则：时：用matlab求解：

> x=dsolve('d2x+4*x+sint=0','x(0)=1,dx(0)=0','t')

x =cos(2*t)*(sint/4 + 1) -sint/4

t=0:0.05:5;x=cos(2*t).*sin(t/4) +1) -sin(t/4);