数学建模作业

2023年全国数学建模a题数据分析。

对土豆和生菜，分别建立施肥量和产量之间的多元关系，运用excel和matlab软件依次采用散点法和拟合关系进行绘图显示。在确认模型具有完美的基础上，进行线性相关、交互作用、最佳响应水平、强影响变量等的分析。同时，将两种作物进行比较，得出一系列颇有实用价值的结论。

分析结果表明土豆的产量和施肥量满足一定的线性关系，而生菜对施肥的交互作用与土豆相比影响较大，对生菜则无需强加施肥。方案中，ha 表示公顷，t 表示吨，kg表示公斤。通过对一系列数据的假设和分析，在施肥中应特别注意n、p、k的使用量。

关键字散点图施肥效果效益模型

某地区作物生长所需的营养素主要是氮n、钾k、磷p。某研究所在该地区对土豆与生菜做了一定数量的实验，实验数据如下表所示，其中ha表示公顷，t表示吨，kg表示公斤。当一个营养素的施肥量变化时，p与k的施肥量分别取为hakg/196与hakg/372.

试分析施肥量与产量之间的关系，并对所得结果从应用价值与如何改进等方面做出估价。

图示1：1.农作物实验是在相同的实验条件下进行，产量的变化仅由施肥量引起；

2.土壤中有一定量的天然肥，满足其在不施肥下也能生长；

3.当一个营养素的施肥量变化时，另两个营养素的施肥量总保持在第七水平上不变；

4.每次实验独立进行，互不影响；

5.剔除所给数据中偏差较大的点后进行曲线拟合。

每公顷土地中氮元素的施肥量。

每公顷土地中施加氮后作物的产量。

这是一个由多个变量控制的数学模型，以各营养素施肥量配比使产量达到较好状态为目标，因此需首先求得各个变量的最优解从而使产量达到最佳状态。对题目中给出的数据进行处理，找出产量与单一营养素在其他营养素施肥量不变条件下的数据关系，绘出土豆和生菜的产量与施肥量的散点图观察其分布规律，选用适当的拟合曲线，并根据曲线类型得出函数关系式，运用excel和matlab软件对所得函数进行假设检验和拟合，最终得出n肥营养素的最佳配比。

方案一：用excel**做出施肥量与产量的拟合曲线如下图所示：

施肥量对土豆产量的影响：氮元素：

根据对数据的分析，先用excel中的散点图描绘出施肥量和产量之间的关系：

当p,k营养素的施肥量保持在196kg/ha 与372kg/ha，随着向土豆增加n元素的施肥量，土豆产量先呈现递增趋势，施肥量超过336kg/ha后，土豆产量呈现递减趋势。考虑土豆产量与n肥之间的数据变化，可以看到，达到一定程度再增加施肥量时，就会造成产量的下滑，结合散点图，可以判断土豆产量与n肥施用量之间应该可以用二次函数关系来拟合。

散点图较直观的表示出当施肥量在300左右时，土豆的产量最高，效益最佳。但是，从曲线的拟合程度来看，虽然拟合程度很高，但是运用excel做出的拟合曲线并不能反映出施肥量对农作物产量影响的总体规律，只能是在给定的数据范围内达到拟合的要求，并不能准确的把握施肥量与产量之间的关系，故不具有应用价值，在一定条件下可作为参考。

方案二：利用matlab软件描绘出施肥量和产量之间的拟合关系：

施肥量对土豆产量的影响： n元素。

通过上图曲线的变化趋势可以清晰的看出n元素营养物对土豆产量的影响，假设产量和施肥量满足关系式：

借助matlab的拟合关系式求解出：

通过matlab拟合出的关于n肥施加量与土豆产量的关系式：

通过对这个二次表达式可以求解出在p，k维持在第七水平上时，n营养素对土豆理想产量最大值为：，施肥量为

通过对上图的分析可知，人们在现实生活中，为了追求利益最大化，当施用肥料所带来的收入比用于购买肥料的费用多时，就应该合理的多加施肥，否则就不应该多施肥。

本模型利用matlab编程，曲线估计较成功地解决了施肥最佳方案问题，方法简练，道理清晰，结果可信。曲线估计得到较合适的曲线，最终得到拟合曲线函数表达式。

在实际工作中，三种肥料之间除了与产量有直接的数量关系外，还有彼此之间的交互作用。因此，本模型只是一个初步的**，要得到三种营养素与产量之间的准确关系，应该在实验之初就采取正交实验或均匀设计的方法，得到更有价值的实验数据，从而更好的把握变量间的数量关系，以达到直到农业生产实践的目的。

参考文献 1]赵静，但琦。数学建模与数学实验，北京：高等教育出版社，2003.6

2]范逢曦。图论方法及应用，太原：山西科学教育出版社，1987.4

3]姜启源，谢金星，叶俊。数学模型，北京：高等教育出版社，2003.8

4]黄国瑜，叶乃菁。数据结构，北京：清华大学出版社，2001.8

5]李春葆。数据结构教程，北京：清华大学出版社，2005.1

6]卢开澄，卢华明。图论及其应用(第二版),北京：清华大学出版，1997

7]严蔚敏，吴伟民。数据结构，北京：清华大学出版社，1997

matlab**：

向土豆施加n肥**分析：

a=[0 34 67 101 135 202 259 336 404 471];

b=[15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75];

c=polyfit(a,b,2);cc =

d=polyval(c,a);

plot(a,d,'p');

title('土豆的施肥量n和产量之间的关系');

gtext('向土豆施加n肥');

xlabel('施肥量');

ylabel('产量');

grid on

t=[-0.0003 0.1971 14.7416];

m=polyder(t)m =

n=roots(m)n =

h=polyval(t,328.5)h =

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