1 数学建模入门。
1.1 贷款问题。
解：1） 小王夫妇贷款20万元，月利率0.6%，还款总期数12月/年×20年=240月。假设每个月还款x万元，则其第一个月后欠银行的钱为：
a1=20×(1+0.6%)-x
假设第n个月后欠银行的钱为an，则第n+1个月后欠银行的钱为：
an+1=an×(1+0.6%)-x n≤240
由①、②式可推得：
an=20×(1+0.6%)n-x[(1+0.6%)n-1]/0.6% ③
第240期还清，即a240=0，由③式可得：
x=20×(1+0.6%)n/[(1+0.6%)n-1]/0.6%=0.157470万元=1574.70元。
共付利息：x×240-20=0.15747×240-20=17.792766万元。
2） 由（1）问知，五年后小王夫妇欠银行的钱为：
a60=20×(1+0.6%)60-0.157470[(1+0.6%)60-1]/0.6%=17.303481万元。
即第六年初，小王夫妇应还银行17.303481万元。
3） 由（2）问知，以月利率0.6%计算五年后小王夫妇欠银行17.303481万元，月利率为0.
8%，还款期数为15×12=180，假设每个月还款y万元，则第六年第一个月后欠银行的钱为：
b1=17.303481×(1+0.8%)-y
假设第六年第m个月后欠银行的钱为bm，则第m+1个月后欠银行的钱为：
bm+1=bm×(1+0.8%)-y m≤180 ⑤
由④、⑤式可推得：
bm=17.303481×(1+0.8%)m-y[(1+0.6%)m-1]/0.8
第180期还清，即b180=0，由⑥式可得：
y=17.303481×(1+0.8%)180/[(1+0.8%)180-1]/0.8%=0.181733万元=181733元。
4） 假如不需要帮助，则小王夫妇最后本息支付37.792766万元；若请求帮助，则提前三年还清，总支付银行钱数为0.15747×12×17=32.
12388万元，并支付给借贷公司20×10%=2万元的佣金，总支付34.12388万元。故小王夫妇应该请借贷公司帮助还款。
1.2 冷却定律与破案。
解：假设尸体的冷却速度为v，则。
其中t为尸体温度，t为时间，k为常数，t0为环境温度。
从女子被害时t=0开始，以正常人体温37.5℃计算，则尸体温度与时间的变化关系为：
由法医测量的体温可知，8时20分尸体温度32.6℃，9时20分为31.4℃，由此可判断该女子遇害时间在5时7分左右。
依据证人证词，下午5在办公室，而到作案现场只需步行5分钟，故不能排除张某是犯罪嫌疑犯。
1.3 公平投票问题。
解：由于其他选手没有类似于甲所在的情况，在不考虑甲单位所在的评委时，该规则是公平的，此时各选手所得的最后分数是既定的，假定各选手的得分分别为an。考虑甲单位所在的评委时，相对于某个选手i来说，甲单位评委的给分只要低于ai，则其最终得分要与不含甲单位评委时较低，甲单位评委的给分高于ai，则其最终得分要与不含甲单位评委时较高，即甲单位评委的给分决定了最后的排名，而甲单位评委却不给甲评分，这显然不公平。
修正的办法则是：除甲单位评委不给甲评分外，其他评委随机的给其他选手中的某一个不评分，其他条件不变。
1.4 锻炼想象力、洞察力和判断力的问题。
解：1）如右图，以某人距离旅店的位移与时间的关系在相同的坐标系上表示出来，从旅店到山顶以及从山顶到旅店两条所在的曲线中必有交点，表明在该交点处两天同一时刻走过同一地点。
2）某人是随机的到达丙站搭先到达丙站的汽车，有90天到达甲站，10天到达乙站，即90%的时间内乙站开出的车辆先到达丙站，两个站的发车时间间隔均为10分钟，说明乙站发出的车比站发出的车早1分钟。
3）以张先生的妻子为准，张先生当天提前10分钟到家，也就是张先生的妻子少开车10分钟，并在半路将他接回家，假定张先生妻子所驾驶的匀速行驶，也就说说这10分钟为半路相遇的地点到火车站的往返时间，那么实际上张先生走路的时间为5分钟。
4）回家时间为0.5小时，小狗时速6公里，总奔跑的路程为0.5×6=3公里；
上学时间仍为0.5小时，小狗时速6公里，总奔跑的路程为0.5×6=3公里。
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