一、钓鱼问题。
1、试验问题。
某度假村建了一个鱼塘，该鱼塘的平均深度为6米，鱼塘平面图见图1，度假村的经理打算在钓鱼季节来临之前将鱼放入鱼塘，投放的鱼数按每3m有一条鱼的比例投放。如果一张钓鱼证可以钓鱼20条，而要求钓鱼季节结束时所剩的鱼是开始的25％，试问最多可以卖出多少钓鱼证？
图表 1符号说明。
s:鱼塘水面面积，单位是㎡；
v:鱼塘体积，单位是m；
m:可以卖出的最多的钓鱼证数，单位为个；
h:鱼塘的深度单位为米。
2、问题分析。
由于是人工建造的鱼塘，考虑到经济原因，不妨设整个鱼塘是以鱼塘水面面积为底，高为6米的柱体，于是鱼塘的体积等于水面面积乘以高，即v=sh，问题归结为怎样计算鱼塘平面面积，因为鱼塘面积的边界曲线没有给出，而只给了一组数据，因此要求算出鱼塘面积的边界曲线，然后用定积分算出面积。有一组数据来计算定积分可以用数值积分，由于数据点的间隔较大，计算结果的误差会较大，因此应该先利用这组数据鱼塘水面边界的近似曲线。由于鱼塘水面便捷具有对称性，这里只考虑在第一象限中的边界问题，并采用曲线拟合的方法求鱼塘边界。
3、问题求解。
观察这组数据，发现它具有二次函数的形状，可以采用二次或三次拟合函数求拟合曲线，一旦求出拟合曲线f(x),则可以求出鱼塘面积的近似值，并得到鱼塘体积的近似值，求出鱼塘体积v之后，根据题目要求，最多可以卖出去的鱼证满足关系式，因此有卖出去的最多鱼证数为。
用数学软件求解，键入命令。
in[1]:=clear[x,v,s]
in[2]:=d=,,
in[3]:=q=listplot[d,plotstyle->pointsize[0.025]]
输出图形见图2.
out[3]=-graphics-
in[4]:=p2=fit[d,,x]
out[4]=3.81818+51.7333x-1.13939x
in[5]:=p21=plot[p2,]
输出图形见图3
out[5]=-graphics-
in[6]:=show[q,p21]
输出图形见图4.
out[6]=-graphics-
in[7]=p3=fit[d,,x]
out[7]=17.8182+46.6111x-0.83939x-0.0044444x
in[9]:=show[q,p31]
输出图形见图5
out[9]=-graphics-
in[10]:=s=2*integrate[p3,]
out[10]=35885.5
in[11]:=v=s*6
out[12]=215313
in[13]:=m=(1-0.250*v/60
out[13]=2691.41
即可以卖出钓鱼证的最多个数为2691个。
二、追击曲线问题。
1、问题介绍。
一敌舰在某海域内沿正北方向航行时，我方战舰恰位于敌舰的正西方1n mile（海里）处。我舰向敌舰发射制导鱼雷，敌舰速度为0.42n mile/min，鱼雷的速度为敌舰速度的两倍。
试问敌舰航行多远时将被击中？
2、问题分析。
设敌舰的速度为常数v0，曲线为y=y(x)，即在时刻t，鱼雷的位置在点p(x,y)处，这时敌舰的位置在点q(1,v0t)处（如图6.1所示）。由于鱼雷在追击过程中始终指向敌舰，而鱼雷的运动的方向是沿曲线的切线方向，所以有。
两边对x求导，得。
即。由已知鱼雷的速度为2v0
因为，所以。
代入式(6.11)，得线y=y(x)满足的微分方程模型。
令，方程化为。
分离变量，积分并代入初始条件计算得。即。而。
上两式相减。
直接积分并代入初始条件得。
这就是鱼雷追击曲线的方程。因鱼雷击中敌舰时，它的横坐标x=1，代入曲线方程得，即敌舰行至处时将被击中，这段航程所需要的时间为95.2381s。
3、问题求解。
为了利用mathematica求解常微分方程功能求解方程式（6.12），输入命令。
dsolve[
得计算结果如下。
数学软件的局限性，上面用mathematica求解常微分方程初值时出现的两个问解，第一个是错误的，只有第二个解正确，它与用解析解求出的答案式（6.16）一致，即。
为了绘出解曲线图形并计算微分方程解在自变量x=1时的函数值，输入下面命令。
y[x]:=2/3-(1+(x-1)/3)*sqrt[1-x]
polt[y[x],]
y[1]得计算结果如下（包括如图6.3所示图形）
out[3]=-graphics-
out[4]=2/3
图6.3数据结果说明，当敌舰行至处时将被击中。
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