数学建模作业

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1、火山喷发后山的高度改变了多少？

一火山的形状可以用曲面来表示。一次喷发后山体的形状并未改变，但有体积为v的熔岩粘附在山上，试看看山体高度改变了多少。

先计算火山喷发前的火山体积：

由于火山的底很大，把它看成无限大，用极坐标来计算，有：

于是：2、单摆可以用来作钟摆吗？

单摆是把质量为的质点悬挂在一条长度为的细线下使其自由摆动的装置。那末单摆是否可以用来作钟摆呢？

模型建立：考虑在摆角很小的范围内（小于5度），此时受力如图所示：

由牛顿第二定律可知。

化简可得这是一个二阶常系数的奇次线性微分方程，设定初值条件：

利用高等数学知识可以解得：

代入初值条件：

结论：理想单摆在小摆角下（小于5度）的运动为简谐运动。

周期：此时，周期为定值，可以作为钟摆。

问题的进一步讨论。

以上讨论都是在摆角较小的前提下讨论出来的，若是大摆角的摆动，则不再成立了，用积分的方法，可以求出含有第一类椭圆积分的单摆周期公式，由机械能守恒得。

式中，为最大摆角，从中可以求出角位移为：

对上式进行变化后为：

上式适用于任意摆角情形下的单摆运动周期计算，并且是精确的，但这一积分使用椭圆积分表示的，过于复杂，应用时需要查椭圆积分表，这给实际应用带来了许多不便。

为了求出单摆周期的较为简单的公式。现采用这样的方法，将展开的幂级数，并只取前两项作为近似值，则方程变为。

则单摆周期近似公式为。

这是大角度（即）运动单摆的近似周期公式。

单摆周期公式的近似程度。

从上**中可以看出，小角度的周期公式在角度变大的情况下，与准确的周期的相差程度越来越大，而大角度周期的近似公式与准确周期在角度变化的过程中基本是相等的。所以近似公式可以作为准确周期的代替，这样计算量减少，准确度并未减少。

实际的单摆讨论。

上述的情况，无论是小角度的摆动还是大角度的摆动，都未考虑空气的阻力，都是理想的模型。实际的摆动过程中，由于空气的存在，空气阻力会对单摆的能量进行损耗，最大角度会逐渐减少，由于此种情况比较复杂，这里就不进行公式的推导，直接给出周期的计算公式：

其中，为固有频率，为阻尼系数。

从中可以看出，随着最大角度的减少，周期逐渐减少，这与实际的情况是相符的。

模型的总结。

此模型分别考虑了小角度无空气阻力、大角度无空气阻力和大角度存在空气阻力的情形，比较准确的解释了单摆运动周期的变化。最终的考虑到实际的情形，我认为单摆不能够作为钟摆的原因是实际情况中单摆的周期是变小的，不具有等时性，所以不能作为钟摆。

3、有关时针与分针、秒针重合的问题，你所能想到的处理方法都有哪些，哪个方法简单，并给出你认为简单的方法。

所谓时针的重合是指3针或2针都指向同一刻度，为了方便分析计尾不计头。先列出几个对以下分析比较重要的假设：

1.时针分针的运动是连续的，可以使用连续函数的一些相关定理；

2.秒钟的运动是跳跃性的，只能指向刻度，转一圈只能取1到60整数值。

方法一：时针分针12小时内重合11次，重合时间分别为720/11分，2*720/11,…，11*720/11，这11次重合时间只有11*720/11分=12小时是整数，且此时与秒针也重合，而其他时间是非整数，没有与秒针重合的可能。12小时3针重合1次，1天即重合2次。

方法二：时针和分针重合一次的时间为：60/(1- 1/12)=720/11分。

分针和秒针重合一次的时间为：60/(60-1)=60/59分。

现在再求这两个时间的最小公倍数，[720/11,60/59]=467280/649=720分=12时。即12小时3针重复1次，1天2次。

我认为方法一最简单。