数学建模作业---第一章。
1 贷款问题。
1.模型建立：
设ak为第k个月的欠款额，r为月利率，x为每月的还款额。
由题意知：第k个月的欠款额＝第k-1个月的欠款额×月利率＋第k-1个月的欠款额－每月的还款额。
可以表示为ak＝ak－1(1＋r)－x，k＝1,2, …n
其中n为贷款总月数=240。
设a0为最初的贷款额，则有。
第二个月的欠款额为。
推算可知：第k个月的欠款额：
ak＝ak－1(1＋r)－x
a0(1＋r)k－x[(1＋r) k－1＋…＋1＋r)＋1]
a0(1＋r)k－x
由题意，第n个月还款完，即an＝0
令k＝n，得：x＝＞a0r
2.模型求解。
1）r＝0.006, n＝240, a0＝200000
x＝＝1574.699
即：每月还款1574.70元。
共还款1574.0240=377928.00
共计付利息1574.70×240－200000＝177928.00元。
2）令k＝60,
有a60＝173034.90元。
即：应在第6年初一次付给银行173034.90元。
3）记贷款5年后的还款额为a0。
则：a0＝173034.90元，n＝180，r＝0.008
x＝＝1817.329
即：第六年开始每月应还款1817.329元。
4）若请借贷公司帮助还款，每半个月付款是原来付款的一半，但是需要付两次，即每个月还款额不变仍为1574.70元。应预付200000×10%＝20000元。
假设小王夫妇委托借贷公司，还款总额= +200000×10%=。
若小王夫妇不请借贷公司还款，由上述问题可知还款总额=377928.0元。
相比之下，委托借贷公司可以节省36689.2元，所以小王夫妇应委托借贷公司帮忙还款。
2 却定律与破案。
1. 模型建立。
设v为物体冷却速度，t(t)为温度随时间变化的函数。根据newton冷却定律，温度为t(t)的物体在温度的环境中冷却的速度与温度差成正比，可以得到。
k为比例常数。
推导可得：, c为常数。
2.模型求解
由题意得： ,t(60)=31.4
代入函数表达式解得：k=-0.0018, c=-11.5 ，分析：
通过函数t(t)随t单调递减。
由于人的正常体温为37℃，得到：
解得：t=-180
所以死者是在8时20分之前的180min前被害的，即：死者遇害时间为5时20分左右。
由题意：张某在5:00离开办公室，步行需要5min到达案发地点，所以张某不能排除作案嫌疑。
3 锻炼想象力、洞察力和判断力的问题。
1. 假设甲、乙分别在山脚和山顶的两个人，同时于早8时沿同一山路相向而行，并且在晚上5点都到达各自目的地，那么他们一定会在途中相遇。
2.由题意知，第从甲站出发到达丙处的第ｉ辆车，总比从乙站出发到达丙处的第ｊ辆车提前９分钟，换句话说，甲出的第ｉ＋１辆车会在乙出的第ｊ辆车到达丙处１分钟后到达
所以经过丙站的时刻表可安排为：
甲站发来的车：7：00，7：10，7：20…
乙站发来的车：7：09，7：19，7：29…
3.根据题意张先生在两个半路往返所花时间为10min。因为张先生17:
30到达火车站，往常18:00到达火车站，妻子往常是在18:00在火车站接张先生，早了30min,半个路程需要5min,所以张先生步行时间为30-5=25min。
4. 由题意，男孩和女孩从学校到家的时间均为0.5小时。所以小狗奔波的路程为：60.5=3km但是由于不知道小狗的起跑方向，所以小狗最终所在位置不确定。
加分实验 (本题有部分内容从互联网中借鉴)
公平投票问题。
1. 根据题意，假设有n个评委（甲所在单位的一名评委包含在内），共有m位选手(甲包含在内)，甲选手感觉不公平从而限制考虑甲选手。
当甲所在单位的评委回避后进行选票后，甲得1分有，得2分有，得3分有，…,得m分有。
则。从而甲所得到的平均分为。
用平均分看起来似乎可以接受，但是分母分总人数也减少了。仔细想想这对甲不满意，因为他所在单位的那位评委会将一分给他，从而甲所得分的平均值会减少。
即当甲所在单位的评委不回避进行选票，显然该评委必定给甲得1分，从而有。因为。即。
显然其余的选手也不能接受上述式来计算所得选票平均分。
所以甲选手的抱怨是有道理的。
2. 修正方案：根据上述的思考，选手甲所得到的公平平均分必定介于之间。为了可定出相对比较公平的度量函数r,于是可以用的几何平均值来定义，即。
r= =
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