实用数学建模与软件应用实验报告。
学院名称：理学院专业年级：信计142班姓名：高梓涵学号：2014014515
课程：实用数学建模与软件应用报告日期：2016.11.9
问题重述：设某团体有n个单位，每个单位有人数a，总席位为s=,现有席位p个待分配。问：
各单位分配多少个席位是公平的？这就是席位公平分配问题，有的文章又称为资源公平分配问题。
模型一：比例法。
比例法的思想就是按比例分配给单位席位。
设各单位分配的席位为，则， 表示向下取整。设各单位分得席位的小数部分为，尚未完成分配的席位为，则将k个尚未分配完的席位依次分给小数部分最大的单位。
表4.1 6个系人数分布。
解按比例计算，得各席位名额如表所示。
表4.2 6个系的席位分配结果。
模型二：q值法。
设各单位分配的席位为，i=1,2...n，则个单位每个席位代表的人数为。显然。该数值越大，对该单位不公平。考察两个单位i和j之间席位分配的不公平程度。
若，则定义对单位i的相对不公平程度为。
若，则定义对单位j的相对不公平程度为。
建立相对不公平程度指标后，制定的分配方案应使相对不公平程度尽量小。
假定，，当再增加一个席位的时，有下列情况：
1），即当增加一个席位分配给单位i的时候，仍然对单位i不公平，自然该席位分配给单位i。
2）当，，即当增加一个席位分配给单位i时，就会对单位j不公平。而如果将该席位分配给单位j，自然就会对单位i 不公平。这个席位到底分给哪一方？
需要考察两种方案对另一方造成的不公平程度最小。
该席位分配给i，对单位j的相对不公平程度为。
该席位分配给j，对单位i的相对不公平程度为。
为使不公平程度最小，若，则该席位分配给单位i。若，则该席位分配给单位j.
若，即。则此时席位分配给单位i。
同理，当时，则席位分配给单位j。
记，则席位分配给q大的一方。
对情形（1）同样有。
将该方法推广到n个单位的席位分配情况。设各单位分配的席位已经确定，当再增加1个单位时，计算各单位的q值。其中q值为，i=1,2...n
将该席位分配给q值最大的一方 ，这样可使造成的不公平程度最小。
实际计算时，可按照以下方式进行：
1）给个单位1个席位，即令，i=1,2...n，。
2）增加1个席位，i=1,2...n.记，则令。
3）计算已经分配席位。若lmatlab程序：
a=[100,202,67,40,59,32];
n=length(a);
p=30;s=sum(a);
x=ones(1,n);
q=zeros(1,n);
l=sum(x);
while(lfor i=1:n
q(i)=a(i)^2/(x(i)*(x(i)+1));
endu,k]=max(q);
x(k)=x(k)+1;
l=l+1;
end> fprintf('各单位分配席位：')
各单位分配席位：>>for i=1:n
fprintf('%2d',x(i));
end结果：6 12 4 2 4 2
问题重述。司机与前面的车保持多大的距离是安全的？安全的刹车距离跟什么有关？
该刹车距离能否用时间来度量？如何度量？下表列出了某种车型不同速度下的安全刹车距离，试找出其函数关系，并求出该种车型时速100km/h下的安全刹车距离。
表不同速度下的刹车距离。
解答分析：1.刹车距离模型。
刹车距离由反应距离和制动距离组成。
反应距离指从司机决定刹车到制动开始起作用汽车行驶的距离。
制动距离指制动器开始起作用到汽车完全停止行驶的距离。
2.模型假设。
1）刹车距离d等于距离d1和制动距离d2之和。
2）反应距离d1余车速v 成正比，比例系数为反应时间t1.
3）刹车时使用最大制动力f，f做的功等于汽车动能的改变吗，且f与车的质量m 成正比。
3.模型的建立与求解。
由假设（2），得 d1=t1v
由假设（3）,有。其中a 为刹车加速度，时常数，则。
刹车距离与速度的模型为。
其中t1根据经验取0.75s，现利用实际数据来确定k。
表车速与刹车距离。
由将表中第2列和第3列数据代入，有。
则刹车距离与速度关系为。
表4.5中第4列为根据式计算刹车距离，第5列时采用实际刹车距离时的刹车时间。
由式（4.4）还可以看出刹车时间与车速的关系为t=0.75v+0.095v
可以计算出，当v=100km/h=27.8m/s时，安全刹车距离d=94.18m，安全时间为d/s=3.4s。
matlab程序：
> v=10:10:90;
v=v*1000/3600;
d=[3,7,13,21,29,39,50,63,77];
s1=0.0;
s2=0.0;
for i=1:7
s1=s1+(d(i)-0.75*v(i))*v(i)*v(i);
s2=s2+v(i)^4;
end;k=s1/s2;
ds=0.75*v+k*v.^2;
plot(v,ds,v,d,'*
xlabel('速度（米/秒）')
ylabel('距离（米）')
t=d./v;
fprintf('车速实际刹车距离计算刹车距离刹车时间');
车速实际刹车距离计算刹车距离刹车时间。
> for i=1:9
fprintf(' 6.2f %6.1f %6.1f %6.1f',v(i),d(i),ds(i),t(i));end;
> v1=100*1000/3600;
> d1=0.75*v1+k*v1^2;
> fprintf('v=%5.2f d=%5.2f',v1,d1);
v=27.78 d=94.18
实验小结：这节课学习了2个初等数学模型：席位公平分配模型，汽车刹车距离模型。
这些模型虽然比较简单，但是都是从实际问题出发，解决现实生活中的小问题。而且在建模过程中，建立了关于该问题的一些新的概念和独特方法，很好的解决了问题。这对生活中问题的数学建模具有启发作用。
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