数学建模题目

《数学模型及数学软件》上机报告。

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地点及机位编号日期时间： 2023年6月16日

一、上机训练题目或内容。

本文针对光伏建筑设计时对外表面光伏电池板优化铺设及逆变器选用优化问题，建立太阳辐射模型、多目标优化模型，并引入运筹学中松弛约束、动态规划、启发式算法、等步长探索思想求解优化模型，解决不同安装方式下（贴附、架空）光伏电池阵列最优排布并合理选择逆变器的问题，达到优化目标。继而，在计算求得电池板最佳倾角的基础上，提出了一套合理化太阳能小屋建设方案。

光伏电池发电原理为光电效应，能量**为太阳能。模型i对经典太阳辐射模型进行适当改进，以求不同方位角和水平倾角下倾斜平面接收的太阳辐射能量。借助matlab软件编程求解，得到位于大同地区的小屋朝南倾斜屋顶和东、南、西、北立面接收的年太阳辐射量分别为.

47（单位：kw·h/㎡）

问题1：请根据山西省大同市的气象数据，仅考虑贴附安装方式，选定光伏电池组件，对题设小屋的部分外表面进行铺设，并根据电池组件分组数量和容量，选配相应的逆变器的容量和数量。

问题2：电池板的朝向与倾角均会影响到光伏电池的工作效率，请选择架空方式安装光伏电池，重新考虑问题1。

问题3：根据附件给出的小屋建筑要求，请为大同市重新设计一个小屋，要求画出小屋的外形图，并对所设计小屋的外表面优化铺设光伏电池，给出铺设及分组连接方式，选配逆变器，计算相应结果。

二、数学模型或求解分析或算法描述。

1.符号说明：

太阳辐照度，即单位面积上接收的太阳辐射功率。单位：

isc：太阳常数，取1.1

太阳时，时间的计量以地球自转为依据，地球自转一周，计24太阳时，当太阳达到正南处为12:00

时角，赤纬角，太阳直射纬度，计算公式为：

以1月1日n=1.

太阳高度角，即以太阳视盘面的几何中心和理想地平线所夹的角度。

其中为大同纬度40.1°。

表面方位角，即倾斜表面法线在水平面上投影线与南北方向之间的夹角，正南方取0，偏东为负偏西为正。

表面与水平面之间的夹角。

使斜面接收光照量最大的，的估计值。

光伏电池板平均反射率，取0.2。

光电转化效率，即光伏电池板能量利用率。

：逆变效率。

u：串联电池支路输出端电压。

满足并联条件的光伏电池分组矩阵，其元素表示一条串联支路，它由个型号的电池板串联组成。

第k种逆变器容量，k=1,2,..16.

q：年发电量，单位kw·h/m

c：建筑屋顶最高点距地面高度。

室内使用空间最低净空高度距地面高度。

建筑平面体型长边。

建筑平面体型最短边；

正南房顶的倾斜角；

建筑总投影面积；

房屋建筑的南、东、北、西墙面，正南、正比顶面，；

房屋建筑的南、东、北、西墙面的窗户面积；

房屋建筑的南、东、西墙面的有效铺排光电板面积，

房屋建筑的南、东、西墙面的原门面积，

正南墙面的窗户长度。

正南墙面的窗户高度。

2. 模型建立及求解。

光伏电池的能量**为太阳能，能量转化过程如图1所示。

图1.光伏电池的能量转化原理。

光电幕墙的应用很关键的考虑因素是当地太阳光照辐射情况，它从根本上直接影响光伏系统工程运行效能和运行成本。故无论电池板如何架设，都必须先计算得受光面（此题中为小屋外墙）所获得的太阳辐射能量。在此基础上建立模型，求解光伏阵列排布和逆变器的最优选择方案。

下面来分析倾斜屋顶接收的太阳辐射量。

基于hay提出的各向异性漫射模型[1]假定，。倾斜面可接受到的太阳辐射量来自以下三方面：

太阳直射辐射到斜面的部分。

天空散射到辐射面的部分。

地面反射到斜面的辐射量。

即。（1）与水平面直接辐照量之间有如下关系：

式中，分别为水平面上散射辐射及总辐射量，h0为大气层外水平面上辐射量，它可以由下式求出：

其中，isc为太阳常数，取1.1。

地面反射辐射量5）

将（2）~（5）代入（1）得倾角为的倾斜面上的总辐射照度为：

其中，为倾斜面上太阳总辐射强度（）；为水平面直接辐射强度；为水平面散射辐射强度；为水平面总辐射强度；为光伏电池板平均反射率，与加工工艺和表面涂层有关，通常在15%~25%左右，这里取20%；为倾斜面上和水平面上直接辐射的比值。

图1.倾斜面与水平面辐射直射关系。

左：任意表面方位角情况，右：正南情况）

对于偏离赤道方位角为的倾斜平面上太阳辐射量的计算，普遍采用klein模型：

：赤纬角；：时角；纬度=40.

1°；：太阳高度角；：表面方位角，即倾斜表面法线在水平面上投影线与南北方向之间的夹角，正南方取0，偏东为负偏西为正；：

表面与水平面之间的夹角。）

7）中分别为倾斜面上的日出和日落时角，8）

式中：特别地，当倾斜面为正南方向时，,公式（7）化为。

将附件中大同地区365天内每天24小时太阳光直射、散射能量、时角、赤纬角等数据代入（1）和（4）式，并借助matlab软件辅助计算，得到该年朝南倾斜屋顶接受的总太阳辐射量约为1564.49kw·h/㎡，一小时最大辐射量为1050 kw·h/㎡；同理，根据所给数据中各立面每小时辐射总量，可求出东、南、西、北立面接收的年太阳辐射量为.47（单位：

kw·h/㎡）

为保证光伏组件正常工作，在设计分组时应遵循如下原则：

原则一（串并联约束）：在同一表面采用两种或两种以上类型的光伏电池组件时，同一型号的电池板可串联，而不同型号的电池板不可串联。

原则二（电压约束）：多个光伏组件串联后并联接入逆变器，输出电压应在所选用逆变器的额定工作电压（v）范围内，且并联的光伏组件端电压相差不应超过10%。

原则三（功率约束）：光伏阵列的最大功率不能超过逆变器的额定容量。

基于以上三个原则，针对题中所给的24种规格（6种单晶硅电池、7种多晶硅电池、11种薄膜电池）光伏电池进行排列组合，求得符合并联条件的分组组合。

由于不同材料的光伏电池对光的利用率存在差异，由附件说明可知，单晶硅和多晶硅电池启动发电的表面总辐射量≥80w/m2、薄膜电池表面总辐射量≥30w/m2，故在低光照（30~80 w/m2）下，前两种电池不工作，端电压为0，而薄膜电池可启动，显然与原则二相悖，易知，前两种电池不可能与薄膜电池并联，应分开考虑。

具体实现分组的算法如下：

step1.

根据所给逆变器参数表，输出电压为ac220/50hz的逆变器所允许的输入电压范围为~300（单位：v)，基于原则二，在端电压上限为300v的前提下计算24种规格电池板各自的最大串联数目（i=1,2,..24)，并求出1~块板串联的端电压和总功率。

例如开路电压为、功率为p的电池，，则该型号电池可能构成的串联端电压u为。由此可得个可能的电池串和端电压。

step2.

对于第一步中得到的端电压为u的电池串，可以与之并联的电池串端电压u'应满足，并联电池组的端电压即为u。若u不在任何逆变器输入电压允许范围内，则将该组删除。至此，可求得符合电压约束的可并联电池分组。

step3.

求各条电池串输出功率p=。其中，为单块第i种规格电池在全年最大辐射度情况下的输出功率，即。

基于原则三，若分组中存在某一电池串串联功率大于可选逆变器最大容量，则应将该组删除。

注意，这里不涉及对具体逆变器的选择，故对于原则三的约束此处只作为必要条件对分组情况进行筛选，将“光伏阵列的最大功率不能超过逆变器的额定容量”的约束转化为“串联阵列最大功率≤逆变器容量”，对于并联阵列总功率的限制将在下文中将做进一步讨论。

利用matlab编程实现以上分组算法，得到131个符合并联条件的分组阵列，视每个光伏阵列中各串联电池串“等价”，则最大等价电池串数目为13。分组结果记为矩阵。

该矩阵中二元组元素表示一条串联支路，它由个型号的电池板串联组成；每一行表示一个并联分组阵列，该行联电池串“等价”；若可并联电池串不足13，则记为（,0）。

本问题要求中，针对太阳能小屋外墙面光伏电池铺设方案进行设计为多目标优化问题，所基于的目标有二：

1）发电量目标，即小屋的全年太阳能光伏发电总量尽可能大；

2）成本目标，即单位发电量的费用尽可能小。

而实际在设计节能房屋时，出于经济可行性的考虑也是必须的。鉴于所给三种不同材质的电池板性能和**方面有很大差异，因此，若要使在太阳能小屋35年寿命期限内收回成本，使电板35年内产生收益大于投入成本，则使用不同材质的电池板所需要的年阳光辐照量临界值为：a型（单晶硅）：

946.03kw·h/㎡，b型（多晶硅）：793.

65kw·h/㎡，c型（薄膜电池）：304.76k w·h/㎡。

而外墙立面实际接收的年阳光辐照度分别为：

表1. 不同朝向立面实际接收的年阳光辐照度。

a,b型电池光电转化效率高（在15%左右），但对低光照情况和温度变化适应性较差（启动发电的表面总辐射量≥80w/m2），且成本较高；c型电池相对廉价，且对低光适应性好（启动发电的表面总辐射量≥30w/m2），但光电转化效率低（在5%左右）。西面虽满足b板临界光照要求，但二者很接近，盈利空间过小，舍弃。故对于各朝向建筑外表面面铺设光伏电池的决策为：

东、西取c型，南和朝南屋顶取a,b型，朝北屋顶和北墙无论铺何种电池板都将亏本，故不进行铺设。这大大降低了问题规模。下面对东、西、南、朝南屋顶的电池板铺设和逆变器选取问题进行优化设计。

对应矩阵a，求出**矩阵m、面积矩阵s和功率矩阵p，对应表示出每条串联光伏阵列支路的。

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