12 建模作业行星运行

《数学建模》课程作业题-12

第四章微分方程模型-行星运行。

1水星到太阳的最远距离为0.68982×1011m，此时水星绕太阳运行的线速度为3.886×104m/s，试求：

1)水星到太阳的最近的距离；

2)水星绕太阳运行的周期；

3)画出水星绕太阳运行的轨道曲线；

4)求从远日点开始的第50天(地球天)结束时水星的位置。

1）建立的模型及求解：

水星运行的数学模型。

行星运动轨迹方程。

其中，利用matlab进行计算求解（附录一），得到水星到太阳的最近的距离为。

2）建立的模型及求解：

水星绕太阳运行的周期模型为：

其中，。利用matlab进行计算求解（附录二），得到水星绕太阳运行的周期为t = 1.58×107s，约为183.4天。

3）利用matlab（附录三）画水星绕太阳运行的轨道曲线：

4）建立的模型及求解：

水星的位置模型为。

如果要求出是水星的位置，即求出相应的和，则意味着先要解方程。

求出后，在求出，进而得到线速度。

最后利用matlab计算求解（附录四），解得从远日点开始的第50天(地球天)结束时水星的位置如图所示：

2 (地中海鲨鱼问题) 20世纪20年代中期，意大利生物学家d’ancona偶然注意到第一次世界大战期间在原南斯拉夫的里耶卡港，人们捕获的鱼类中，鲨鱼等软骨鱼的百分比大量增加（见下表），而供其捕食的食用鱼的百分比却明显下降。显然，战争使捕鱼量下降，食用鱼应该增加，鲨鱼等软骨鱼也随之增加，但为何其比例大幅度增加呢？请对软骨鱼及食用鱼的增长情况建立一个数学模型来解释这一现象。

建立的模型及求解：

建立微分方程组如下：

取初值。其中：x(t)是食用鱼数量，y(t)是软骨鱼数量，r1是食用鱼的独立生存能力，r2是软骨鱼死亡率，是软骨鱼捕食食用鱼能力，食用鱼为软骨鱼的供食能力，e是人捕获食用鱼能力。

设战前人的捕获能力e=0.3，战时为0.1，则上述方程为。

战前模型：战时模型：

设在t时刻，食用鱼的数量为x(t),软骨鱼的数量为y(t)，根据四级四阶的runge—kutta法可以得到如下计算公式：

得到最终的迭代格式。

3 (鱼场捕捞问题) 渔场中的鱼资源若不进行捕捞则按自限规律增长。若在渔场中由固定船队进行连续作业，单位时间的产量与渔场中鱼的数量成正比，比例系数为k，试建立描述该渔场鱼数量的数学模型，并讨论如何控制k使得渔场的鱼资源保持稳定。

模型的建立及求解：

在无捕捞的情况下，鱼的增长服从logistic回归模型，即。

其中：x(t)是t时刻渔场鱼的数量，r是固有增长率，n是所能容纳最多的鱼数，f(x)是无捕捞情况下单位时间内鱼的增长量。

对（1）式两端进行积分可得。

在有捕捞情况下，渔场鱼量满足。

其中：f(x)是有捕捞情况下单位时间内鱼的增长量，k是捕捞强度，h(x)是单位时间鱼产量。

对（3）式两端进行积分可得。

要控制渔场鱼资源保持稳定，只需要f(x)=0,即。

对（4）式求解，得。

显然，为了维持渔场的稳定，渔场鱼量为0是不可取的，只有渔场的鱼量满足时，渔场比较稳定。

4 (产品推销问题) 经济学家和社会学家一直很关心新产品的推销速度问题。试建立一个数学模型来描述它，并由此分析出一些有用的结果来指导生产。

模型的建立及求解：

该产品的销售与它在市场上的销售量成正比，还与市场上的剩余需求量成正比，即：

则可建立数学模型如下：

其中：m是市场需求有一个上界，k是比列系数，x(t)是t时刻已售出的新产品数量，x是销售量。

此方程为logstic模型，其解为。

对（1）关于t求一阶导数得。

对（1）关于t求二阶导数得。

当》0时，x(t)单调递增的；令：

即：此时：当时，销售速度单调递增；当时，销售速度单调递减。

综上，在销售量小于最大需求量m的一半时，销售速度是增大的，当销售量达到最大需求量m的一半时，此时最畅销。在销售量超过最大需求量m的一半时，销售速度是递减的。所以初期小批量生产，经过一段时间的需求增长后大批量生产，达到m/2时，稳定生产。

这样可以取得较高的经济效益。

5 (蛛网模型) 自由**的集市上存在这样一种现象：一个时期由于猪肉的上市量大于需求、销售不畅导致**下降，农民觉得养猪赔钱，于是转而经营其他农副产业，过段时间后猪肉上市量大减，供不应求导致****。原来的饲养户看到有利可挣，又重操旧业，这样下一个时期又会重现供大于求、**下降的局面。

在没有外界干预的情况下，这种现象将如此循环下去，试建立数学模型解释这一现象。

模型的建立及求解：

在k段时间内，**与猪的数量有关，即：

该函数是一个减函数。

假设：在k+1段时间内，猪的数量是与第k段时间猪肉的**相关的。

即：该函数是一个增函数。

假设：由此我们可以得知：

由此可知：这是一个等比数列形式。

我们可以得到它的通项：

最终化简得到迭代格式：

附录一： zs_12_1_1

r0 = 0.68982*10^11;

v0 = 3.886*10^4;

theta = pi;

m = 1.989*10^30;

g = 6.672*10^-11;

c1 = r0*v0;

p = c1^2/(m*g);

e = 1-p/r0;

r = p/(1-e*cos(theta));

disp(r);

附录二： zs_12_1_2

r0 = 0.68982*10^11;

v0 = 3.886*10^4;

theta = pi;

m = 1.989*10^30;

g = 6.672*10^-11;

c1 = r0*v0;

p = c1^2/(m*g);

e = 1-p/r0;

t = 2*pi*p^2/(c1*(1-e^2)^3/2);

disp(t);

附录三： zs_12_1_3

r0 = 0.68982*10^11;

v0 = 3.886*10^4;

theta = 0:0.01:2*pi;

m = 1.989*10^30;

g = 6.672*10^-11;

c1 = r0*v0;

p = c1^2/(m*g);

e = 1-p/r0;

r = p./(1-e*cos(theta));

x = r.*cos(theta);

y = r.*sin(theta);

plot(x,y)

hold on

plot(0,0,'r.',markersize',50);

hold on

plot(0.6982e11,0,'b.',markersize',20);

hold on

plot(-4.6078e+010,0,'b.',markersize',20);

text(1,0,'太阳');

text(0.6982e11,0,'远日点');

text(-4.6078e+010,0,'近日点');

title('水星绕太阳运行的轨道曲线');

附录四： zs_12_1_4

c1 = 2.7132e15;

m = 1.989e30;

g = 6.672e-11;

q = inline('2.7132e15^2/(r^3)-1.989e30*6.672e-11/(r^2)')

r = inline('q');

s = inline('2.7132e15/(r^2)')

q = 0;

r = 0.6982e11;

theta = 0;

t = 0;

k = 1;

h = 0.001e7;

while theta<=2*pi

k1 = q(r);l1=r(q);

n1 = s(r);

k2 = q(r+h/2*l1);

l2 = r(q+h/2*k1);

n2 = s(r+h/2*l1);

k3 = q(r+h/2*l2);

l3 = r(q+h/2*k2);

n3 = s(r+h/2*l2);

k4 = q(r+h*l3);

l4 = r(q+h*k3);

n4=s(r+h*l3);

t = t+h;

q = q+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);

r = r+h/6*(l1+2*l2+2*l3+l4);

theta = theta+h/6*(n1+2*n2+2*n3+n4);

rr = r;

ee = theta;

xx(k) =rr*cos(ee);%水星任意位置的横坐标

yy(k) =rr*sin(ee);%水星任意位置的纵坐标

k = k+1;

endplot(xx,yy) %画出水星的轨道曲线

hold on

plot(0,0,'r.',markersize',50);

hold on

plot(0.6982e11,0,'b.',markersize',20);

hold on

plot(-4.6078e+010,0,'b.',markersize',20);

text(0,0,'太阳');

text(0.6982e11,0,'远日点');

text(-4.6078e+010,0,'近日点');

title('水星绕太阳运行的轨道曲线');

clc xx = 0;

yy = 0;

q = 0;

r = 0.6982e11;

theta = 0;

t = 0;

k = 1;

h = 0.001e7;

while t<=50*24*3600%求水星自远日点开始第50天的位置

k1 = q(r);l1=r(q);n1=s(r);

12 建模作业行星运行

数学建模作业

数学建模作业

数学建模作业

其他用户还读了