时长：120分钟满分120分命题人：张海龙。
一、选择题 （共10小题，每小题4分，共40分．）
1.已知集合，则集合的非空真子集的个数为（ ）
a. 6b. 7c.14d. 15
2.以长方体的各顶点为顶点，能构成四棱锥的个数是。
a.4b. 8 c.12d. 48
3． 一个立方体的表面展开图如下面左图所示，将其折叠成立方体后的立体图形是（ ）
4. 若函数在r上单调递增，则的取值范围是（ ）
a. b. c. d.
5.四面体有三条棱两两垂直，那么它的所有二面角中，直二面角的个数是。
a.三个 b.四个 c.三个或四个 d.至多三个。
6.向高为h的水瓶中注水，注满为止。如果注水量v与水深h的函数关系的图像如下图所示，那么水瓶的形状是。
7. 已知x，y，z满足，则的值为（ ）
abc. 1d.
8. 已知， ,且。则的值等于( )
a.; bcd..
9．函数在上递减，那么在上（ ）
a 递增且无最大值 b 递减且无最小值
c 递增且有最大值 d 递减且有最小值。
10. 已知定义在r上的奇函数在区间上是增函数，且函数的图像关于直线x=2对称。若方程在区间上有6个不同的实根，则（ ）
a. -12 b. 12 c. -8 d. 8
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
11．函数的值域是。
12. 正四棱锥s-abcd的底面边长和各侧棱长都为，点s、a、b、c、d都在同一个球面上，则该球的体积为。
13. 两个球的表面积之差为48，它们的大圆周长之和为12，则这两个球的半径之差为。
14.设a>1,若仅有一个常数c使得对于任意的x [a,2a],都有 y [a,]满足方程，这时，a的取值的集合为
三、解答题（共6题，每题10分，共60分）
15.解方程：
16. 一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，试建立容器的容积v与底边边长x的函数关系式。
17如图，四边形abcd为矩形，pd⊥平面abcd，pd=dc＝２，bc＝，e是pc的中点．（ⅰ证明：pa∥平面edb；
求异面直线ad 与be所成角的大小．
18. 已知二次函数的图象经过两点p，q.
1）如果都是整数，且，求的值。
2）设二次函数的图象与轴的交点为a、b，与轴的交点为c.如果关于的方程的两个根都是整数，求△abc的面积。
19.如图，三棱锥v—abc中， va=vb＝ac=bc=２，ab＝，vc=1．
ⅰ）证明： ab⊥vc；
ⅱ）求三棱锥v—abc的体积．
20. 已知函数，(1)若其定义域为r，求实数a的取值范围；
(2)若函数的值域为r,求实数a的取值范围。
2012级高一数学竞赛选拔试卷答案。
一、选择题cddac,bacaa
二、填空题。
三、解答题。
16. 解：如图，在中，，，所以，.(017.证明：（ⅰ连接ac，设ac∩bd=o，连接eo，四边形abcd为矩形，∴o为ac的中点．
oe为△pac的中位线．
pa∥oe，而oe平面edb，pa平面ebd，pa∥平面edb
ⅱ）∵ad∥bc，∴就是异面直线ad 与be所成的角或补角。
∵pd⊥平面abcd， bc平面abcd ，∴bc⊥pd.又四边形abcd为矩形，bc⊥dc．又因为pddc= d，所以bc⊥平面pdc.
在bce中bc＝，ec＝，∴
即异面直线ad 与be所成角大小为．
18.解点p、q在二次函数的图象上，故，，解得，.
1）由知解得。
又为整数，所以，，.
2) 设是方程的两个整数根，且。
由根与系数的关系可得，，消去，得，两边同时乘以9，得，分解因式，得。
所以或或或。
解得或或或。
又是整数，所以后面三组解舍去，故。
因此，，，二次函数的解析式为。
易求得点a、b的坐标为（1,0）和（2,0），点c的坐标为（0,2），所以△abc的面积为。
19.．证明：（ⅰ取ab的中点为d，连接vd，cd．
va=vb，∴ab⊥vd；同理ab⊥cd．
于是ab⊥平面vdc．又vc平面vdc，故ab⊥vc．
解：（ⅱ由（ⅰ）知ab⊥平面vdc．由题设可知vd＝cd =1，又vc=1，故三棱锥v—abc的体积等于．
20.(1) a>1 (2)
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