2017-2018学年度高一数学寒假作业（二）
一、选择题。
1．已知空间两点p(－1,2，－3)，q(3，－2，－1)，则p、q两点间的距离是( )
a．6 b．2 c．36 d．2
2．在数轴上从点a(－2)引一线段到b(3)，再延长同样的长度到c，则点c的坐标为( )
a．13 b．0
c．8 d．－2
3．圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为( )
a．1 b．2
c． d．2
4．若一个三角形的平行投影仍是三角形，则下列命题：
三角形的高线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的高线；
三角形的中线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的中线；
三角形的角平分线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的角平分线；
三角形的中位线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的中位线。
其中正确的命题有( )
a．①②b．②③
c．③④d．②④
5．在圆柱内有一个内接正三棱锥，过一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是( )
6．已知圆x2＋y2－2x＋my＝0上任意一点m关于直线x＋y＝0的对称点n也在圆上，则m的值为( )
a．－1 b．1
c．－2 d．2
7．若圆心在x轴上，半径为的圆c位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆c的方程是( )
a．(x－)2＋y2＝5 b．(x＋)2＋y2＝5
c．(x－5)2＋y2＝5 d．(x＋5)2＋y2＝5
8．对于直线m、n和平面α、β能得出α⊥β的一个条件是( )
a．m⊥n，m∥α，n∥β b．m⊥n，α∩m，nα
c．m∥n，n⊥β，mα d．m∥n，m⊥α，n⊥β
9．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的体积为( )
a．3π b． c．π d．
10．有一个几何体的三视图及其尺寸如下(单位：cm)，其侧视图和主视图是全等的三角形，则该几何体的表面积为( )
a．12π cm2 b．15π cm2
c．24π cm2 d．36π cm2
11．点p(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的内部，则a的取值范围是( )
a．(－1,1) b．
c． d．12．若直线ax＋by－3＝0和圆x2＋y2＋4x－1＝0切于点p(－1,2)，则ab的值为( )
a．－3 b．－2
c．2 d．3
二、填空题。
13．已知两条直线l1：ax＋8y＋b＝0和l2：2x＋ay－1＝0(b<0)，若l1⊥l2且直线l1的纵截距为1时，a＝__b＝__
14．已知圆m：x2＋y2－2mx－3＝0(m<0)的半径为2，则其圆心坐标为___
15．已知圆锥母线长是10，侧面展开图是半圆，则该圆锥的侧面积为___
16．一个半球的表面积为q，一个圆柱与此半球等底等体积，则这个圆柱的表面积是___
三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．直线l过点p(，2)，且与x轴，y轴的正方向分别交于a、b两点，当△aob的面积为6时，求直线l的方程。
18．已知直线l1：ax－by－1＝0(a、b不同时为0)，l2：(a＋2)x＋y＋a＝0.
1)若b＝0且l1⊥l2，求实数a的值；
2)当b＝2，且l1∥l2时，求直线l1与l2之间的距离。
19．已知圆c与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且经过点a(6,1)，求圆c的方程。
20．如图所示，圆锥的轴截面为等腰直角△sab，q为底面圆周上一点。
1)若qb的中点为c，oh⊥sc，求证：oh⊥平面sbq；
2)如果∠aoq＝60°，qb＝2，求此圆锥的体积。
21．如图，已知直四棱柱abcd－a1b1c1d1的底面是菱形，且∠dab＝60°，ad＝aa1，f为棱bb1的中点，m为线段ac1的中点。
1)求证：直线mf∥平面abcd；
2)求证：平面afc1⊥平面acc1a1.
如图所示，m、n、p分别是正方体abcd－a1b1c1d1的棱ab、bc、dd1上的点。
1)若＝，求证：无论点p在dd1上如何移动，总有bp⊥mn；
2)棱dd1上是否存在这样的点p，使得平面apc1⊥平面acc1？证明你的结论。
2017-2018学年度高一数学寒假作业（二）答案。
一、选择题accdd ddcbc cc
12.[解析] 由题意，得点p(－1,2)在直线ax＋by－3＝0上，∴－a＋2b－3＝0，即a＝2b－3.
圆x2＋y2＋4x－1＝0的圆心为(－2,0)，半径r＝，∴a2－12a＋5b2－9＝0.
由，得。 故ab＝2.
二、填空题。
13．a＝__0__，b＝__8__.
16． _q__.
解析] 设半球的半径为r，则圆柱的底面半径也为r，设圆柱的高为h. 由题意得2πr2＋πr2＝q，∴r2＝.
又πr3＝πr2h，∴h＝r.
圆柱的表面积s＝2πrh＋2πr2＝πr2＋2πr2＝πr2＝π·q.
三、解答题。
17.[解析] 当斜率k不存在时，不合题意。 设所求直线的斜率为k，则k≠0，l的方程为y－2＝k(x－).
令x＝0，得y＝2－k>0，令y＝0，得x＝－>0，∴k<.
由s＝(2－k)(－6，解得k＝－3或k＝－.
故所求直线方程为y－2＝－3(x－)或y－2＝－(x－)，即3x＋y－6＝0或3x＋4y－12＝0.
18[解析] (1)若b＝0，则l1：ax－1＝0，l2：(a＋2)x＋y＋a＝0，∵l1⊥l2，∴a(a＋2)＝0，∴a＝－2或0.
2)当b＝2时，l1：ax－2y－1＝0，l2：(a＋2)x＋y＋a＝0，∵l1∥l2，∴a＝－2(a＋2)，∴a＝－.
l1：4x＋6y＋3＝0，l2：2x＋3y－4＝0，l1与l2之间的距离d＝＝.
19[解析] ∵圆心在直线x－3y＝0上，设圆心坐标为(3a，a)，又圆c与y轴相切，∴半径r＝3|a|，圆的标准方程为(x－3a)2＋(y－a)2＝9a2，又∵过点a(6,1)，∴6－3a)2＋(1－a)2＝9a2，即a2－38a＋37＝0，a＝1或a＝37，所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9
或(x－111)2＋(y－37)2＝12 321.
20[解析] (1)连接oc，∵sq＝sb，oq＝ob，qc＝cb，qb⊥sc，qb⊥oc，∴qb⊥平面soc.
oh平面soc，∴qb⊥oh，又∵oh⊥sc，∴oh⊥平面sqb.
2)连接aq. ∵q为底面圆周上的一点，ab为直径，∴aq⊥qb.
在rt△aqb中，∠qba＝30°，qb＝2，∴ab＝＝4.
△sab是等腰直角三角形，∴so＝ab＝2，v圆锥＝π·oa2·so＝π.
21 [解析] (1)延长c1f交cb的延长线于点n，连接an.
f是bb1的中点，f为c1n的中点，b为cn的中点。
又∵m是线段ac1的中点，∴mf∥an.
又∵mf平面abcd，an平面abcd，mf∥平面abcd.
2)连接bd，由直四棱柱abcd－a1b1c1d1可知，a1a⊥平面abcd，又∵bd平面abcd，∴a1a⊥bd.
四边形abcd为菱形，∴ac⊥bd.
又∵ac∩a1a＝a，ac、a1a平面acc1a1，bd⊥平面acc1a1.
在四边形danb中，da∥bn，且da＝bn，四边形danb为平行四边形，∴na∥bd，na⊥平面acc1a1.
又∵na平面afc1，∴平面afc1⊥平面acc1a1.
解析] (1)如图所示，连接b1m、b1n、ac、bd，则bd⊥ac.
＝，∴mn∥ac.
bd⊥mn.
dd1⊥平面abcd，mn面abcd，∴dd1⊥mn.
mn⊥平面bdd1.
无论p在dd1上如何移动，总有bp平面bdd1，故总有mn⊥bp.
2)存在点p，且p为dd1的中点，使得平面apc1⊥平面acc1.
bd⊥ac，bd⊥cc1，bd⊥平面acc1.
取bd1的中点e，连接pe，则pe∥bd. ∴pe⊥面acc1.
又∵pe面apc1，面apc1⊥面acc1.
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