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第一章概率论的基本概念。
样本空间、随机事件。
一、写出以下随机试验的样本空间：
1.从两名男乒乓球选手和三名女乒乓球选手中选拔一对选手参加男女混合双打，观察选择结果。
2.10件产品中有4件次品，其余全是**，从这10件产品中连续抽取产品，每次一件，直到抽到次品为止，记录抽出的**件数。
二、有三位学生参加高考，以表示第人考取（）.试用表示以下事实：
1.至少有一个考取；2.至多***有两人考取；3.恰好有两人落榜。
三、投掷一枚硬币5次，问下列事件的逆事件是怎样的事件？
1.表示至少出现3次正面；2.表示至多出现3次正面；3.表示至少出现3次反面。
四、袋中有十个球，分别编有1至10共十个号码，从其中任取一个球，设事件表示“取得的球的号码是偶数”， 事件表示“取得的球的号码是奇数”， 事件表示“取得的球的号码小于5”，则分别表示什么事件？
五、在某系的学生中任选一名学生，令事件a表示“被选出者是男生”；事件b表示“被选出者是三年级学生”；事件c表示“被选出者是运动员”。
1）说出事件的含义；
2）什么时候有恒等式；
3) 什么时候有关系式正确；
4）什么时候有等式成立。
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概率、古典概型。
一、 填空。
1.已知事件，的概率，积事件的概率，则。
2. 设为两个事件，, 则 .
3. 设为两个任意不相容事件，,则 .
4. 设为两个事件，,0.2，则 .
5. 已知0，，则全不发生的概率为 .
二、设是两事件，且，,求。
1) 在什么条件下，取到最大值？ (2) 在什么条件下，取到最小值？
三、一批产品20件，其中3件次品，任取10件，求。
1) 其中恰有一件次品的概率；(2) 至少有一件次品的概率。
四、甲、乙两艘油轮驶向一个不能同时停泊两艘油轮的码头，它们都将在某日8时至20时抵达码头。甲轮卸完油要一小时，乙轮要两小时。假设每艘油轮在8时到20时的每一时刻抵达码头的可能性相同。
1.求甲乙两轮都不需等候空出码头的概率；
2.设表示甲、乙同一时刻抵达码头，问是否是不可能事件，并求。
五、某年级有10名大学生是2023年出生的，试求这10名大学生中。
1.至少有两人是同一天生日的概率；2.至少有一人***一日过生日的概率。
六、设求证：
七、设为两个事件，, 求。
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练习1.3 条件概率、全概率公式。
一、填空。1.设为两个事件，, 且都是已知的小于1的正数，则。
2.设为两个事件，, 则 .
3. 设为一完备事件组，且， ,则。
4. 已知为一完备事件组，，，则 .
5. 设为随机事件，且， ,则 ，.
二、一台电子仪器出厂时，使用寿命1000小时以上的概率为0.6，1500小时以上的概率为0.4，现已使用了1000小时，求还能使用500小时以上的概率。
三、有十箱产品，已知其中。
三、二、五箱分别是第。
一、第二、第三车间生产的，各车间的次品率分别是0.2，0.1，0.05，现在任取一箱，再从中任取一件：
1.求此件为次品的概率；2.如果此件为次品，问是哪个车间生产的可能性最大？
四、人群中患肝癌的概率为0.0004.用血清甲胎蛋白法检查时，患有此病被确诊的概率为0.
95，未患被误诊的概率为0.01.问普查时，任一人被此法诊断为肝癌患者的概率有多大 ？？
设此人被此法诊断为肝癌患者，问此人真患有肝癌的概率有多大？比未作检查时的概率增大了多少倍？
五、有两箱同型号的零件，箱内装50件，其中一等品10件；箱内装30件，其中一等品18件。装配工从两箱中任选一箱，从箱子中先后随机地取两个零件（不放回抽样）。求：
1)先取出的一件是一等品的概率；
2)在先取出的一件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍是一等品的概率。
六、为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统（i）和（ii），每种系统单独使用时，系统（i）和系统（ii）有效的概率分别为0.92和0.93.
在系统（i）失灵的情况下，系统（ii）仍有效的概率为0.85，求两个警报系统至少有一个有效的概率。
七、设一人群中有37.5%的人血型为a型，20.9%为b型， 33.
7%为o型，7.9%为ab型，已知能允许输血的血型配对如下表，现在在人群中任选一人为输血者，再选一人为需要输血者，问输血能成功的概率是多少？（v：
允许输血；x：不允许输血）。
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练习1.4 独立性。
一、 填空。
1. 将一枚骰子独立地先后掷两次，以和分别表示先后掷出的点数，设，,则。
2.设为两个相互独立的事件，，，则 。
3. ,为相互独立的事件，则。
1）至少出现一个的概率为 ；
2）恰好出现一个的概率为 ；
3）最多出现一个的概率为 。
4.设， 0.6，那么：（1）若为互不相容的事件，则 ；（2）若为相互独立的事件，则 ；（3）若，则 .
二、设5件产品中2件是次品3件是**，对每件产品进行检验，令表示被检验到的那件产品是次品，则2/5, 3/5.对一件产品作检验可看成一次试验，于是作了5次试验，据二项概率公式可知，事件恰好发生2次的概率为。因此这5件产品中恰有2件次品的概率为0.
3456，另一方面这5件产品恰有2件次品是已有的事实，因此其概率为1，从而1=0.3456，请找出理由推翻此“等式”。
三、甲、乙、丙三人各自去破译一个密码，他们能译出的概率分别为1/5,1/3,1/4,试求：
1) 恰有一人译出的概率；（2）密码能破译的概率。
四、某种电阻的次品率为0.01，作有放回抽样4次，每次一个电阻，求恰有2次取到次品的概率和至少有3次取到次的概率。
五、某类灯泡使用时数在1000小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率。
六、加工某一零件共需要经过三道工序，设第。
一、二、三道工序的次品率分别是0.02，0.03，0.05，假设各道工序是互不影响的，问加工出来的零件是次品的概率是多少？
七、甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别为0.7及0.6，每人各投了3次，求二人进球数相等的概率。
八、若事件相互独立，证明也相互独立。
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自测题（第一章）
一、 填空（每空2分）
1.几何概率中，每个样本点的发生具有而样本点的个数是。
2.若事件则称互斥。 若又则称互逆。
3.若事件 ,则，否则 .
4.设为两事件且，则 ,当时，.
5.事件发生，而事件和至少发生一个这一事实可表示成事件发生，必导致事件和至少发生一个这一事实可表示成。
6.表示投掷10次钱币时，至少出现4次正面，则表示正面或反面。
7.在图书馆任取一本书，设=｛是数学书｝，=是中文版的｝，=90年后出版的｝，则当图书馆里时，有，当时，有。
二、判断正误（每小题3分）
1.若事件的概率，则。
2.对任两事件，有。
3.若=｛男足球队员｝，则=｛女足球队员。
4.若事件有关系，则。
5.若事件相互独立，则也相互独立。
6.口袋中有四个球，其中三个球分别是红、白、黄色的，另一个球染有红、白、黄三色。现从口袋中任取一球，观察其颜色。
令=｛球染有红色｝，=球染有白色｝，=球染有黄色｝，那么事件相互独立。
三、写出以下两个试验的样本空间（每小题5分）
1.10件产品有3件是次品，其余均是**。每次从中任取一件（取后不放回），直到3件次品全取出为止，记录取的次数。
2.30名学生进行一次考试，观察平均成绩（个人成绩采用百分制）。
四、（12分）设两相互独立的事件都不发生的概率为1/9，发生不发生的概率与发生不发生的概率相等，求。
概率论练习
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