一．解答题（共14小题）
1．如图，边长为a的大正方形是由边长为b的小正方形和四个全等的梯形拼成的，请利用此图证明平方差公式．
2．小明在计算时，找不到计算器，去向小华借，小华看了看题说根本不用计算器，而且很快说出了答案．你知道答案是多少吗，请将答案填在横线上 ．
3．计算：1）（x+y）（x﹣y）+（y﹣z）（y+z）+（z﹣x）（z+x）；
2）（3m2+5）（﹣3m2+5）﹣m2（7m+8）（7m﹣8）﹣（8m）2．
4．已知x、y互为相反数，且（x+3）2﹣（y+3）2=6，求x、y的值．
5．已知|x﹣y+1|与x2+8x+16互为相反数，求x2+2xy+y2的值．
6．已知，求的值．
7．已知（x+y）2=1，（x﹣y）2=49，求x2+y2与xy的值．
8．（1）已知：a+b=3，ab=2．求a2+b2的值．
2）已知：a﹣b=1，a2+b2=4，求ab的值．
9．已知ab=2，求（2a+3b）2﹣（2a﹣3b）2的值．
10．（1）猜想：试猜想a2+b2与2ab的大小关系，并说明理由；
2）应用：已知x﹣，求x2+的值；
3）拓展：代数式x2+是否存在最大值或最小值，不存在，请说明理由；若存在，请求出最小值．
11．请认真观察图形，解答下列问题：
1）根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）；
2）由（1），你能得到怎样的等量关系？请用等式表示；
3）如果图中的a，b（a＞b）满足a2+b2=53，ab=14，求：①a+b的值；②a4﹣b4的值．
12．如图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状围成一个正方形．
1）图②中的阴影部分面积为 ；
2）观察图②，请你写出三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系是 ．
3）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示，如图③，它表示了 ．
4）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2．（在图中标出相应的长度）
13．把（x+3）（x+7）+4写成一个多项式的平方的形式．
14．已知ab=9，a﹣b=﹣3，求a2+3ab+b2的值．
参***与试题解析。
一．解答题（共14小题）
1．如图，边长为a的大正方形是由边长为b的小正方形和四个全等的梯形拼成的，请利用此图证明平方差公式．
解答】证明：∵四个梯形是全等梯形，梯形的高为，四个梯形的面积=4××（a+b）×=a2﹣b2，整理得（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．
2．小明在计算时，找不到计算器，去向小华借，小华看了看题说根本不用计算器，而且很快说出了答案．你知道答案是多少吗，请将答案填在横线上 ．
解答】解：原式===
3．计算：1）（x+y）（x﹣y）+（y﹣z）（y+z）+（z﹣x）（z+x）；
2）（3m2+5）（﹣3m2+5）﹣m2（7m+8）（7m﹣8）﹣（8m）2．
解答】解：（1）原式=（x2﹣y2）+（y2﹣z2）+（z2﹣x2）=0
2）原式=﹣（3m2+5）（3m2﹣5）﹣m2（7m+8）（7m﹣8）﹣（8m）2，﹣（9m4﹣25）﹣m2（49m2﹣64）﹣64m2，25﹣58m4．
4．（2016春诸城市期末）已知x、y互为相反数，且（x+3）2﹣（y+3）2=6，求x、y的值．
解答】解：∵x、y互为相反数，y=﹣x，（x+3）2﹣（y+3）2，（x+3）2﹣（﹣x+3）2，x2+6x+9﹣x2+6x﹣9，6，即12x=6，解得x=，y=﹣x=﹣．
故答案为：x、y的值分别是，﹣．
5．（2016秋黄梅县校级期末）已知|x﹣y+1|与x2+8x+16互为相反数，求x2+2xy+y2的值．
解答】解：∵|x﹣y+1|与x2+8x+16互为相反数，|x﹣y+1|与（x+4）2互为相反数，即|x﹣y+1|+（x+4）2=0，x﹣y+1=0，x+4=0，解得x=﹣4，y=﹣3．
当x=﹣4，y=﹣3时，原式=（﹣4﹣3）2=49．
6．（2016春高州市期末）已知，求的值．
解答】解：∵，2=9，=7．
7．（2016秋钦州期末）已知（x+y）2=1，（x﹣y）2=49，求x2+y2与xy的值．
解答】解：∵（x+y）2=x2+y2+2xy=1①，（x﹣y）2=x2+y2﹣2xy=49②，①得：2（x2+y2）=50，即x2+y2=25；
﹣②得：4xy=﹣48，即xy=﹣12．
8．（2016秋尚志市期末）（1）已知：a+b=3，ab=2．求a2+b2的值．
2）已知：a﹣b=1，a2+b2=4，求ab的值．
解答】解：（1）a2+b2=（a+b）2﹣2ab=32﹣2×2=5；
2）2ab=（a2+b2）﹣（a﹣b）2=4﹣1=3．
ab=1.5．
9．（2016春成安县期末）已知ab=2，求（2a+3b）2﹣（2a﹣3b）2的值．
解答】解：（2a+3b）2﹣（2a﹣3b）2
（2a+3b+2a﹣3b）（2a+3b﹣2a+3b）
4a6b24ab，当ab=2时，原式=24×2=48
答：（2a+3b）2﹣（2a﹣3b）2的值是48．
10．（2016春泰州校级期末）（1）猜想：试猜想a2+b2与2ab的大小关系，并说明理由；
2）应用：已知x﹣，求x2+的值；
3）拓展：代数式x2+是否存在最大值或最小值，不存在，请说明理由；若存在，请求出最小值．
解答】解：（1）猜想a2+b2≥2ab，理由为：
a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2≥0，a2+b2≥2ab；
2）把x﹣=5两边平方得：（x﹣）2=x2+﹣2=25，则x2+=27；
3）x2+≥2，即最小值为2．
11．（2016秋天门期末）请认真观察图形，解答下列问题：
1）根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）；
2）由（1），你能得到怎样的等量关系？请用等式表示；
3）如果图中的a，b（a＞b）满足a2+b2=53，ab=14，求：①a+b的值；②a4﹣b4的值．
解答】解：（1）两个阴影图形的面积和可表示为：
a2+b2或 （a+b）2﹣2ab；
2）a2+b2=（a+b）2﹣2ab；
3）∵a，b（a＞b）满足a2+b2=53，ab=14，①（a+b）2=a2+b2+2ab
a+b=±9，又∵a＞0，b＞0，∴a+b=9．
∵a4﹣b4=（a2+b2）（a+b）（a﹣b），且∴a﹣b=±5
又∵a＞b＞0，a﹣b=5，a4﹣b4=（a2+b2）（a+b）（a﹣b）=53×9×5=2385．
12．（2016春莘县期末）如图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状围成一个正方形．
1）图②中的阴影部分面积为 （m+n）2﹣4mn或（m﹣n）2 ；
2）观察图②，请你写出三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系是 （m+n）2﹣4mn=（m﹣n）2 ．
3）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示，如图③，它表示了 （2m+n）（m+n）=2m2+3mn+n2 ．
4）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2．（在图中标出相应的长度）
解答】解：（1）图②中阴影部分的面积为（m+n）2﹣4mn或（m﹣n）2，故答案为：（m+n）2﹣4mn或（m﹣n）2；
2）三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系是（m+n）2﹣4mn=（m﹣n）2，故答案为：（m+n）2﹣4mn=（m﹣n）2；
3）图③表示的关系式为：（2m+n）（m+n）=2m2+3mn+n2，故答案为：（2m+n）（m+n）=2m2+3mn+n2；
4）如图所示：．
13．（2016春隆化县期末）把（x+3）（x+7）+4写成一个多项式的平方的形式．
解答】解：原式=x2+10x+25=（x+5）2．
14．（2016秋宁阳县校级期中）已知ab=9，a﹣b=﹣3，求a2+3ab+b2的值．
解答】解：∵ab=9，a﹣b=﹣3，a2+3ab+b2，a2﹣2ab+b2+5ab，（a﹣b）2+5ab，9+45，54．
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