规律探索。
一。 选择题。
1.（2015湖南邵阳第10题3分）如图，在矩形abcd中，已知ab=4，bc=3，矩形在直线上绕其右下角的顶点b向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2015次后，顶点a在整个旋转过程中所经过的路程之和是（ ）
考点： 旋转的性质；弧长的计算．.
专题： 规律型．
分析： 首先求得每一次转动的路线的长，发现每4次循环，找到规律然后计算即可．
解答： 解：转动一次a的路线长是：
，转动第二次的路线长是：，转动第三次的路线长是：，转动第四次的路线长是：
0，转动五次a的路线长是：，以此类推，每四次循环，故顶点a转动四次经过的路线长为：+2π=6π，2015÷4=503余3
顶点a转动四次经过的路线长为：6π×504=3024π．
故选：d．点评： 本题主要考查了探索规律问题和弧长公式的运用，发现规律是解决问题的关键．
2.（2015湖北荆州第10题3分）把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…现有等式am=（i，j）表示正奇数m是第i组第j个数（从左往右数），如a7=（2，3），则a2015=（
a． （31，50） b． （32，47） c． （33，46） d． （34，42）
考点： 规律型：数字的变化类．
分析： 先计算出2015是第1008个数，然后判断第1008个数在第几组，再判断是这一组的第几个数即可．
解答： 解：2015是第=1008个数，设2015在第n组，则1+3+5+7+…+2n﹣1）≥1008，即≥1008，解得：n≥，当n=31时，1+3+5+7+…+61=961；
当n=32时，1+3+5+7+…+63=1024；
故第1008个数在第32组，第1024个数为：2×1024﹣1=2047，第32组的第一个数为：2×962﹣1=1923，则2015是（+1）=47个数．
故a2015=（32，47）．
故选b．点评： 此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．
3.（2015湖北鄂州第10题3分）
在平面直角坐标系中，正方形a1b1c1d1 、d1e1e2b2 、a2b2c2d2 、d2e3e4b3 、a3b3c3d3 ……按如图所示的方式放置，其中点b1在y轴上，点c1、e1、e2、c2、e3、e4、c3……在x轴上，已知正方形a1b1c1d1 的边长为1，∠b1c1o=60°，b1c1∥b2c2∥b3c3……则正方形a2015b2015c2015d2015的边长是（ ）
a． b． cd．
答案】d.考点：1.正方形的性质；2.解直角三角形．
4. （2015山东威海，第12 题3分）如图，正六边形a1b1c1d1e1f1的边长为2，正六边形a2b2c2d2e2f2的外接圆与正六边形a1b1c1d1e1f1的各边相切，正六边形a3b3c3d3e3f3的外接圆与正六边形a2b2c2d2e2f2的各边相切，…按这样的规律进行下去，a10b10c10d10e10f10的边长为（ ）
a． b． c． d．
考点： 正多边形和圆．.
专题： 规律型．
分析： 连结oe1，od1，od2，如图，根据正六边形的性质得∠e1od1=60°，则△e1od1为等边三角形，再根据切线的性质得od2⊥e1d1，于是可得od2=e1d1=×2，利用正六边形的边长等于它的半径得到正六边形a2b2c2d2e2f2的边长=×2，同理可得正六边形a3b3c3d3e3f3的边长=（）2×2，依此规律可得正六边形a10b10c10d10e10f10的边长=（）9×2，然后化简即可．
解答： 解：连结oe1，od1，od2，如图，六边形a1b1c1d1e1f1为正六边形，∠e1od1=60°，△e1od1为等边三角形，正六边形a2b2c2d2e2f2的外接圆与正六边形a1b1c1d1e1f1的各边相切，od2⊥e1d1，od2=e1d1=×2，正六边形a2b2c2d2e2f2的边长=×2，同理可得正六边形a3b3c3d3e3f3的边长=（）2×2，则正六边形a10b10c10d10e10f10的边长=（）9×2=．
故选d．点评： 本题考查了正多边形与圆的关系：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．记住正六边形的边长等于它的半径．
5．（2015山东日照 ，第11题3分）观察下列各式及其展开式：
a+b）2=a2+2ab+b2
a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3
a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
请你猜想（a+b）10的展开式第三项的系数是（ ）
a． 36 b． 45 c． 55 d． 66
考点： 完全平方公式．.
专题： 规律型．
分析： 归纳总结得到展开式中第三项系数即可．
解答： 解：解：（a+b）2=a22+2ab+b2；
a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；
a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；
a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；
a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6；
a+b）7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7；
第8个式子系数分别为：1，8，28，56，70，56，28，8，1；
第9个式子系数分别为：1，9，36，84，126，126，84，36，9，1；
第10个式子系数分别为：1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1，则（a+b）10的展开式第三项的系数为45．
故选b．点：此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键。
6 , 2015山东临沂，第11题3分）观察下列关于x的单项式，**其规律：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，….
按照上述规律，第2015个单项式是（ ）
a) 2015x2015. (b) 4029x2014c) 4029x2015d) 4031x2015.
答案】c解析】
试题分析：根据这组数的系数可知它们都是连续奇数，即系数为（2n－1），而后面因式x的指数是连续自然数，因此关于x的单项式是，所以第2015个单项式的系数为2×2015－1=4029，因此这个单项式为。
故选c考点：探索规律。
7．(2015·河南，第8题3分)如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆o1，o2，o3，… 组成一条平滑的曲线，点p从原点o出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒[',altimg': w': 17', h':
43'}]个单位长度，则第2015秒时，点p的坐标是（ ）
a.（2014,0） b.（2015，－1）
c. （2015,1） d. （2016,0）
b【解析】本题考查直角坐标系中点坐标的规律探索。
半圆的半径r=1，∴半圆长度=π，
第2015秒点p运动的路径长为：2015，
×2015÷π=1007…1，∴点p位于第1008个半圆的中点上，且这个半圆在x轴的下方。
此时点p的横坐标为：1008×2－1=2015，纵坐标为－1，∴点p(2015，－1) .
图”中的“○”的个数，若第n个“龟图”中有245个“○”则n=（
a． 14 b． 15 c． 16 d． 17
考点： 规律型：图形的变化类．.
分析： 分析数据可得：第1个图形中小圆的个数为5；第2个图形中小圆的个数为7；第3个图形中小圆的个数为11；第4个图形中小圆的个数为17；则知第n个图形中小圆的个数为n（n﹣1）+5．据此可以再求得“龟图”中有245个“○”是n的值．
解答： 解：第一个图形有：
5个○，第二个图形有：2×1+5=7个○，第三个图形有：3×2+5=11个○，第四个图形有：
4×3+5=17个○，由此可得第n个图形有：[n（n﹣1）+5]个○，则可得方程：[n（n﹣1）+5]=245
解得：n1=16，n2=﹣15（舍去）．
故选：c．点评： 此题主要考查了图形的规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键，注意公式必须符合所有的图形．
8. （2015四川省宜宾市，第7题，3分）如图，以点o为圆心的20个同心圆，它们的半径从小到大依次是，阴影部分是由第l个圆和第2个圆，第3个圆和第4个圆，……第l9个圆和第20个圆形成的所有圆环，则阴影部分的面积为（ b ）
a.231π b.210π c.190π d.171π
9. （2015浙江宁波，第10题4分）如图，将△abc沿着过ab中点d的直线折叠，使点a落在bc边上的a1处，称为第1次操作，折痕de到bc的距离记为；还原纸片后，再将△ade沿着过ad中点d1的直线折叠，使点a落在de边上的a2处，称为第2次操作，折痕d1e1到bc的距离记为；按上述方法不断操作下去，经过第2015次操作后得到的折痕d2014e2014到bc的距离记为，若=1，则的值为【 】
abcd.
答案】d.考点】探索规律题（图形的变化类）；折叠对称的性质；三角形中位线定理。
分析】根据题意和折叠对称的性质，de是△abc的中位线，d1e1是△a d1e1的中位线，d2e2是△a2d2e1的中位线，…，故选d.
二。填空题。
1．（2015甘肃武威，第18题3分）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第2个三角形数，6是第3个三角形数，…依此类推，那么第9个三角形数是 45 ，2016是第 63 个三角形数．
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