专题09 二次根式的概念与性质。
阅读与思考。
式子叫做二次根式，二次根式的性质是二次根式运算、化简求值的基础，主要有：
1．．说明了与、2一样都是非负数．
2．＝（0）．解二次根式问题的基本途径——通过平方，去掉根号有理化．
3． 揭示了与绝对值的内在一致性．
5 ．（0，＞0）．给出了二次根式乘除法运算的法则．
6．若＞＞0，则＞＞0，反之亦然，这是比较二次根式大小的基础．
运用二次根式性质解题应注意：
（1）每一性质成立的条件，即等式中字母的取值范围；
2）要学会性质的“正用”与“逆用”，既能够从等式的左边变形到等式的右边，也能够从等式的右边变形到等式的左边．
例题与求解。
【例1】设，都是有理数，且满足方程，那么的值是希望杯”邀请赛试题）
解题思路：将等式整理成有理数、无理数两部分，运用有理数和无理数的性质解题．
例2】 当1≤≤2，经化简。
解题思路：从化简被开方数入手，注意中≥0的隐含制约．
例3】若＞0，＞0，且，求的值．
（天津市竞赛试题）
解题思路：对已知条件变形，求，的值或探求，的关系．
例4】若实数，，满足关系式：，试确定的值．
（北京市竞赛试题）
解题思路：观察发现（－199＋）与（199－－）互为相反数，由二次根式的定义、性质探索解题的突破口．
例5】已知，求＋＋的值．
（山东省竞赛试题）
解题思路：题设条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式才能确定未知量的值呢？考虑从配方的角度试一试。
例6】在△abc中，ab，bc，ac三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△abc（即△abc三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△abc的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）请你将△abc的面积直接填写在横线上。
（2）我们把上述求△abc面积的方法叫作构图法．若△abc三边的长分别为，2，（＞0），请利用图2中的正方形网格（每个小正方形的边长为）画出相应的△abc，并求出它的面积．
（3）若△abc三边的长分别为，，2 （＞0，＞0，且≠）试运用构图法求出这个三角形的面积．
咸宁市中考试题）
解题思路：本题主要考查三角形的面积、勾股定理等知识，不规则三角形的面积，可通过构造直角三角形、正方形等特殊图形求得．
能力训练。a级。
1．要使代数式有意义．则的取值范围是。
（“希望杯”邀请赛试题）
2．阅读下面一题的解答过程，请判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答．
已知为实数，化简．
解：原式＝．
3．已知正数，，有下列命题：
1）若＝1，＝1，则1；
2）若＝，＝则；
3）若＝2，＝3，则；
4）若＝1，＝5，则3．
根据以上命题所提供的信息，请猜想：若＝6，＝7，则___
（黄冈市竞赛试题）
4．已知实数，，满足，则（＋）的值为___
5．代数式的最小值是（ ）
a．0b．1c．1d．不存在。
6．下列四组根式中是同类二次根式的一组是（ ）
a．和2b．3和3
c．和d．和。
“希望杯”邀请赛试题）
7．化简的结果是（ ）
a．6－6 b．－6＋6 c．－4d．4
（江苏省竞赛试题）
8．设是一个无理数，且，满足－－＋l＝0，则是一个（ ）
a．小于0的有理数b．大于0的有理数。
c．小于0的无理数d．大于0的无理数。
（武汉市竞赛试题）
9．已知，其中≠0，求的值．
（山东省中考试颗）
10．已知与的小数部分分别是，，求的值．
（浙江省竞赛试题）
11．设，，为两两不等的有理数．
求证：为有理数．
北京市竞赛试题）
12．设，都是正整数，且使，求的最大值．
（上海市竞赛试题）
b级。1．已知，为实数，y＝，则5＋6
2．已知实数满足，则－19992
3．正数，满足＋4－2－4＋4＝3，那么的值为___
（北京市竞赛试题）
4．若，满足3＝7，则=的取值范围是___
（全国初中数学联赛试题）
5．已知整数，满足＋2＝50，那么整数对（，）的个数是（ ）
a．0b．1c．2d．3
（江苏省竞赛试题）
6．已知＝1，那么代数式的值为（ ）
a． bcd．
（重庆市中考试题）
7．设等式在实数范围内成立，其中，，是两两不同的实数．则代数式的值为。
a．3bc．2d．
8．已知，则的值为。
a．3b．4c．5d．6
9．设，，是实数，若＋＋＝2＋4＋6－14，求
的值．北京市竞赛试题）
10．已知3＝3＝cz3，＋＋1，求证：＋＋
11．已知在等式中，，，都是有理数，是无理数．求：
1）当，，，满足什么条件时，是有理数，2）当，，，满足什么条件时，是无理数．
“希望杯”邀请赛试题）
12．设＝，求不超过的最大整数[s]．
13．如图，c为线段bd上一动点，分别过点b，d作ab⊥bd，ed⊥bd，连结ac，ec，已知ab＝5，de＝1，bd＝8，设cd＝．
1）用含的代数式表示ac＋ce的长；
2）请问点c满足什么条件是ac＋ce的值最小？
3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值．
八年级数学二次根式培优专题
二次根式 培优习题训练 知识要点 1.二次根式的定义 形如的式子叫二次根式，其中。叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义 3.公式与的区别与联系。1 表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数 2 表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数 3 和的运算结果都是非负的 4 性质 1 非负...
八年级数学《二次根式》培优训练题 二
习题精练，应用知识课堂演练。1 当时，有意义。2 化简。3 已知。4 分母有理化。5 比较大小 6 化简。7 下列根式中，属于最简二次根式的是 a bcd 8 下列各组的两个式中，x的取值范围相同的是 ab cd 9 计算 10 计算 11 已知 知识点 分式的化简与求值。1 计算 的正确结果为 a...
八年级数学培优之二次根式的计算
第四讲 二次根式的运算。知识梳理 1 当时，称为二次根式，显然。2 二次根式具有如下性质 3 二次根式的运算法则如下 4 设，且不是完全平方数，则当且仅当时，5 二次根式是代数式中应掌握的非常复杂的内容，其运算常用到换元 拆项相消 分解相约等方法，还应注意运用乘法公式 分母有理化等技巧，最后的结果一...