第14章全等三角形。
14.1 全等三角形。
专题一全等三角形的性质及应用。
1.如图，△abc≌△ebd,问∠1与∠2相等吗？若相等请证明， 若不相等说出为什么？
解析：由三角形全等，得到对应角相等，然后再沟通∠1和∠2之间的关系。
2.如图，已知△eab≌△dce,ab、ec分别是两个三角形的最长边，∠a=∠c=35°,cde=100°,∠deb=10°,求∠aec的度数。
专题二全等三角形的**题。
3.全等三角形又叫合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形．假设△abc和△a1b1c1是全等（合同）三角形，且点a与a1对应，点b与b1对应，点c与点c1对应，当沿周界a→b→c→a及a1→b1→c1→a1环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形，如图1；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形，如图2．
两个真正合同三角形，都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合；而两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻折180°,下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是（ ）
4.如图所示，a,d,e三点在同一直线上，且△bad≌△ace．
（1）试说明bd=de+ce；
2）△abd满足什么条件时，bd∥ce？
5.如图所示，△abc绕着点b旋转（顺时针）90°到△dbe,且∠abc＝90°.
△abc和△dbe是否全等？指出对应边和对应角；
直线ac、直线de有怎样的位置关系？
知识要点】1.能够完全重合的两个图形叫全等形，能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。
2.全等三角形的对应边相等，对应角相等。
温馨提示】1.利用全等三角形的性质解决问题时，一定要找准对应元素。
2.全等三角形的对应边相等、对应角相等、周长相等、面积相等，但周长、面积相等的两个三角形不一定是全等三角形。
方法技巧】1.全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，准确的找出两个全等三角形的对应元素是解决全等三角形问题的关键。在表示两个三角形全等时，对应的顶点要写在对应的位置上。
2.全等三角形的对应边相等，对应角相等，利用这两个性质可以说明线段或角相等，以及线段的平行或垂直等。
3.一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置发生了变化，但形状和大小都没有改变，即经过平移、翻折、旋转前后的图形全等。像这样只改变图形的位置而不改变图形的形状和大小的变换叫全等变换，常见的有平移变换，翻折变换，旋转变换。
参***。1.解：
∠1和∠2∵△abc≌△ebd,∴∠a=∠e(全等三角形对应角相等),又∵∠a+∠aof+∠1=180°,∠e+∠eob+∠e=180°(三角形内角和定理),∠aof=∠boe(对顶角相等),∴1=∠2(等式的性质).
2.解：因为ab、ec是对应边，所以∠aeb=∠cde=100°,又因为∠c=35°,所以。
ced=180°-35°-100°=45°,又因为∠deb=10°,所以∠bec=45°-10°=35°,所以∠aec=∠aeb-∠bec=100°-35°=65°.
提示：a与c中的两个三角形可以通过旋转，使它们重合．d中的两个三角形可以用平移、旋转相结合的方式使之重合．而b中的两个三角形可以用翻折的方法使之重合，故b中的三角形是镜面合同三角形．
4.解：（1）因为△bad≌△ace,所以bd=ae,ad=ce,又因为ae=ad+de=ce+de,所以bd=de+ce．（2）∠adb=90°,因为△bad≌△ace,所以∠adb=∠ceb,若bd∥ce,则∠ced=∠bde,所以∠adb=∠bde,又因为∠adb+∠bde=180°,所以∠adb=90°.
5.解：⑴由题知可得：
△abc≌△dbe,ac和de,ab和db,bc和be是对应边；∠a和∠d,∠acb和∠deb,∠abc和∠dbe是对应角；⑵延长ac交de于f.∵△abc≌△dbe ∴∠a＝∠d, 又∵∠acb＝∠dcf（对顶角相等）,∠a＋∠acb＝90°,∴d＋∠dcf＝90°,即∠afd＝90°.∴ac与de是垂直的位置关系。
专题一图形平移中的规律**题。
1.）在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点o出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位．其行走路线如下图所示．
1）填写下列各点的坐标：a4a8a12
2）写出点a4n的坐标（n是正整数）；
3）指出蚂蚁从点a100到点a101的移动方向．
2.如图所示，矩形abcd的顶点坐标分别为a(1,1),b(2,1),c(2,3),d(1,3).
1)将矩形abcd向上平移2个单位，画出相应的图形，并写出各点的坐标；
2)将矩形abcd各个顶点的横坐标都减去3,纵坐标不变，画出相应的图形；
3)观察（1）、（2）中的到的矩形，你发现了什么？
3.在直角坐标系中，△abc的三个顶点的位置如图所示，现将△abc平移使得点a移至图中的点a′的位置．
1)在直角坐标系中，画出平移后所得△a′b′c′（其中b′、c′分别是b、c的对应点）．
2)计算：对应点的横坐标的差。
对应点的纵坐标的差。
3)从（2）的计算中，你发现了什么规律？请你把发现的规律用文字表述出来．
4)根据上述规律，若将△abc平移使得点a移至a″（2,-2）,那么相应的点b″、c″（其中b″、c″分别是b、c的对应点）的坐标分别是。
专题二图形平移中的规律**题。
4.初三年级某班有54名学生，所在教室有6行9列座位，用（m,n）表示第m行第n列的座位，新学期准备调整座位，设某个学生原来的座位为（m,n）,如果调整后的座位为（i,j）,则称该生作了平移[a,b]=[m - i,n - j],并称a+b为该生的位置数。若某生的位置数为10,则当m+n取最小值时，mn的最大值为。
5.国际象棋、中国象棋和围棋号称世界三大棋种。 国际象棋中的“皇后”的威力可比中国象棋中的“车”大得多：
“皇后”不仅能控制她所在的行与列中的每一个小方格，而且还能控制“斜”方向的两条直线上的每一个小方格。如图甲是一个4×4的小方格棋盘，图中的“皇后q”能控制图中虚线所经过的每一个小方格。
1)在如图乙的小方格棋盘中有一“皇后q”,她所在的位置可用“（2,3）”来表示，请说明“皇后q”所在的位置“（2,3）”的意义，并用这种表示法分别写出棋盘中不能被该“皇后q”所控制的四个位置。
2)如图丙也是一个4×4的小方格棋盘，请在这个棋盘中放入四个“皇后q”,使这四个“皇后q”之间互不受对方控制（在图丙中的某四个小方格中标出字母q即可）.
知识要点】1.点的平移变换与坐标的变化规律是：点(x,y)右（左）移m个单位，得对应点(x±m,y),点(x,y)上（下）移n个单位，得对应点(x,y±n).
2.图形的平移变换与坐标的变化规律一般是通过从图形中特殊点，转化为点的平移变换解决。
温馨提示】1.平移只改变物体的位置，不改变的物体的形状和大小，因此，平移前后图形的面积不变。
2.一个图形进行平移，这个图形上所有的点的坐标都要发生相应的变化；反之，如果图形上的点的坐标发生变化，那么这个图形进行了平移。
方法技巧】1.点的平移与其坐标的变化规律是解决平移问题的关键，平移的方向决定了坐标是加还是减，平移的距离决定了加(或减)的数值。
2.作平移后的图形时，可先作出平移后图形中某些特殊点，然后再连结即可得到所需要的图形。
参***。1.⑴ a4（2,0）； a8（4,0）； a12（6,0）； a4n（2n,0）；⑶向上．
2.(1)将矩形向上平移2个单位，画出图形（略）,矩形相应点的坐标为，.(2),.图形略。（3）发现（1）、（2）中的两图形形状、大小完全相同。
3.(1)平移后的图形如图； (2)5 5 5 1 1 1 (3)对应点的横坐标的差都相等；对应点的纵坐标的差都相等（保持不变）;(4)（4,-3）,（6,0）.
4.36 提示：由已知，得a+b=m-i+n-j,即m-i+n-j=10,所以m+n=10+i+j,当m+n取最小值时，i+j最小为2,所以m+n的最小值为12,因为m+n=12=3+9=4+8=5+7=6+6=…,mn的最大值为6×6=36．
5.(1)说明皇后在第2列，第3行的位置，不能被控制的位置有(4,4),(1,1),(3,1),(4,2);(2)放在如(1,2),(2,4),(3,1),(4,3)四个位置。
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