知识要点。
1．定理的证明是这个章节的重要内容之一，定理的证明基本涉及以下几个步骤：(1)根据文字语言画出图形；(2)利用图形写出符号语言；(3)完成证明．
2．这个章节中与平行四边形相关的动态几何问题大量出现，解决这种类型问题的主要策略在于利用一组可表示的边的平行相等关系列方程．
3本章结构图从属关系：
典型例题】例1求证：对角线相等的平行四边形是矩形．
分析】要证明的是矩形，所以在画图时要直接画出矩形，便于解决问题和说明．
解】如图13－3，已知：四边形abcd是平行四边形，对角线ac，ed相交于点o，且ac＝bd．求证：四边形abcd是矩形．
证明：∵四边形abcd是平行四边形，∴ab＝cd．∵bc＝cb，ac＝ed，∴△abc≌△dcb．
∠abc＝∠dcb．
ab//cd，∴∠abc＋∠dcb＝l80°．∴abc＝90°．∴四边形abcd是矩形．
点评】在做定理类型的证明题时，最有效的证明策略就是通过定义来证明定理．拓展与变式1求证：四条边都相等的四边形是菱形．
拓展与变式2求证：平行四边形的对角线的平方和等于两组对边的平方和．
反思】定理证明问题旨在考查三种语言的转化，所以平时要注意积累，提高自己的画图理解能力．
例2如图13－4，矩形纸片abcd中，ab＝6cm，ad＝8cm，把矩形沿对角线bd折叠，点c落在c'处．
1)猜想重叠部分△bed是什么三角形，并说明你的理由；
2)求de的长．
分析】矩形的折叠问题是矩形问题中的重要题型之一，常与勾股定理相关，要利用勾股定理列出相关的方程解决问题．
解】(1)由折叠可知，△c1bd≌6cbd，∴∠ebo＝∠dec．∴四边形abcd是矩形，∴ad∥bc．∴∠ede＝∠dec．
∠ede＝∠ebd．∴eb＝ed．∴△bed是等腰三角形．
2)设de＝x，则eb＝de＝x，ae＝ad－de＝8－x．
四边形abcd是矩形，∴∠a＝90°．
ae2＋ab2＝be2．∴(8－x)2＋62＝x2．∴x＝．∴de＝．
点评】在折叠矩形的过程中，之前常见的“知二证一“基本图同样会经常出现，所以四边形的问题转化为三角形问题同样也是解决问题的基本技巧．
拓展与变式3 如图13－5，矩形纸片abcd中，ab＝3，bc＝4．现通过折叠将a，c重合，再将纸片折叠压平．(1)找出图中的一对全等三角形；(2)直接写出丛aef的形状；(3)求af的长；(4)试确定重叠部分6aef的面积．
拓展与变式4如图13－6，在矩形纸片abcd中，ab＝3．/3，bc＝6，沿ef折叠后，点c落在ab边上的点p处，点d落在点q处，ad与pq相交于点h，∠bpe＝30°，则beqf
反思】矩形的折叠问题相较于三角形更灵活，因为矩形本身的性质就更多更复杂，但处理折叠的问题依然要回归到三角形中利用勾股定理或者特殊三角形的性质解决．
例3如图13－7所示，在四边形abcd中，ad∥bc，∠a＝90°，bc＝21，ad＝l6．动点p从点b出发，沿射线bc的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点q同时从点a出发，**段ad上以每秒1个单位长的速度向点d运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动设运动的时间为t(s)，则当t为何值时，四边形qdcp是平行四边形？
分析】平行四边形的动点生成问题的解决基本策略就是要利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，基本的步骤就是“先定平行，再定方程"．
解】∵qd∥pc，则当四边形qdcp是平行四边形时，qd＝pc．
qd＝l6－t，cp＝21－2t，∴16－t＝21－2t，解得t＝5．
当t＝5时，四边形qdcp是平行四边形．
点评】在确定方程的过程中，要选择容易表示的线段或者已经平行的线段来作为构造方程的基础．
拓展与变式5如图13－8，在梯形abcd中，ad∥bc，e是bc的中点，ad＝5，bc＝l2，cd＝4，∠c＝45°，点p是bc边上一动点．设pb的长为x．
1)当x的值为时，以点p，a，d，e为顶点的四边形为平行四边形；
2)当p在bc边上运动的过程中，以点p，a，d，e为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由．
反思】动点中的平行四边形问题是本章压轴题的常客，汪意在解题过程中的方程构造技巧与分类讨论思想的运用．
专题突破】1．如图13－9所示，矩形纸片abcd中，ab＝6，ad＝10，点e，f仍在矩形abcd的边ab，ad上，仍将△aef沿ef折叠，使点a'在bc边上．当折痕ef移动时，点a'在bc边上也随之移动，则a'c的范围为。
2求证：两条对角线分别平分每一组对角的四边形是菱形．
3．如图13－10，已知矩形abcd中，ab＝4cm，bc＝8cm，ac的垂直平分线ef分别交ad，bc于点e，f，垂足为o．
1)如图①，连接af，ce，四边形afce是af＝ ；
2)如图②，动点p，q分别从a，c两点同时出发，沿△afb和△cde各边匀速运动一周．即点p自a→f→b→a停止，点q自c→d→e→c停止．在运动过程中，已知点p的速度为每秒5cm，点q的速度为每秒4cm，运动时间为ts'当以a，c，p，q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
若点p，q的运动路程分别为a，b(单位：cm．ab≠0)，已知a，c，p，q四点为顶点的四边形是平行四边形，a与b满足的数量关系式是。
八年级数学专题培优
专题一 一次函数。1 甲乙两个仓库要向a b两地运送水泥，已知甲库可调出100吨水泥 乙库可调出80吨水泥。a地需70吨水泥。b地需110吨水泥。两库到a b两地的路程和运费如下表 表中运费栏 元 吨。千米 表示每吨水泥运送一千米所需人民币 1 设甲库运往a地水泥x吨 求总运费y 元 关于x 吨 的...
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八年级数学培优专题 2
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