专题04 和差化积---因式分解的方法（2）
阅读与思考。
因式分解还经常用到以下两种方法。
1．主元法。
所谓主元法，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式按降幂排列重新整理成关于这个字母的多项式，使问题获解的一种方法．
2．待定系数法。
即对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出一个或几个待定的字母系数，把所求问题用式子表示，然后再利用已知条件，确定或消去所设系数，使问题获解的一种方法，用待定系数法解题的一般步骤是：
（1）在已知问题的预定结论时，先假设一个等式，其中含有待定的系数；
2）利用恒等式对应项系数相等的性质，列出含有待定系数的方程组；
3）解方程组，求出待定系数，再代入所设问题的结构中去，得出需求问题的解．
例题与求解。
【例l】因式分解后的结果是。
ab． cd．
上海市竞赛题）
解题思路：原式是一个复杂的三元二次多项式，分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母的多项式并按降幂排列，改变原式结构，寻找解题突破口．
例2】分解因式：
“希望杯”邀请赛试题）
天津市竞赛题）
解题思路：两个多项式的共同特点是：字母多、次数高，给分解带来一定的困难，不妨考虑用主元法分解．
【例3】分解因式．
“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：因的最高次数低于的最高次数，故将原式整理成字母的二次三项式．
【例4】为何值时，多项式有一个因式是。
“五羊杯”竞赛试题）
解题思路：由于原式本身含有待定系数，因此不能先分解，再求值，只能从待定系数法入手．
【例5】把多项式写成一个多项式的完全平方式。
江西省景德镇市竞赛题）
解题思路：原多项式的最高次项是，因此二次三项式的一般形式为，求出即可．
【例6】如果多项式能分解成两个一次因式，的乘积（为整数），则的值应为多少？
江苏省竞赛试题）
解题思路：由待定系数法得到关于的方程组，通过消元、分解因式解不定方程，求出的值．
能力训练。a 级。
1．分解因式。
“希望杯”邀请赛试题）
2．分解因式。
河南省竞赛试题）
3．分解因式。
重庆市竞赛试题）
4．多项式的最小值为。
江苏省竞赛试题）
5．把多项式分解因式的结果是。
ab． cd．
6．已知能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数的个数是（ ）
a．3 个 b．4 个 c．5 个 d．6个。
7．若被除后余3，则的值为（ ）
a．2 b．4c．9d．10
“casio杯”选拔赛试题）
8．若，，则的值是（ ）
abcd．0
（大连市“育英杯”竞赛试题）
9．分解因式：
吉林省竞赛试题）
昆明市竞赛试题）
天津市竞赛试题）
四川省联赛试题）
天津市竞赛试题）
10．如果能够分割成两个多项式和的乘积（为整数），那么应为多少？
兰州市竞赛试题）
11．已知代数式能分解为关于的一次式乘积，求的值．
浙江省竞赛试题）
b 级。1．若有一个因式是，则。
（“希望杯”邀请赛试题）
2．设可分解为一次与二次因式的乘积，则。
“五羊杯”竞赛试题）
3．已知是的一个因式，则。
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
4．多项式的一个因式是，则的值为。
北京市竞赛试题）
5．若有两个因式和，则。
a．8 b．7 c． 15 d．21e．22
美国犹他州竞赛试题）
6．多项式的最小值为（ ）
a．4 b．5 c．16 d．25
“五羊杯”竞赛试题）
7．若（为实数），则m的值一定是（ ）
a．正数 b．负数 c．零 d．整数
(“casio杯”全国初中数学竞赛试题）
8．设满足，则＝（
a．（2，2）或（－2，－2） b．（2，2）或（2，－2）
c．（2，－2）或（－2，2） d．（－2，－2）或（－2，2）
（“希望杯”邀请赛试题）
9．为何值时，多项式能分解成两个一次因式的积？
天津市竞赛试题）
10．证明恒等式：．
北京市竞赛试题）
11．已知整数，使等式对任意的均成立，求的值．
山东省竞赛试题）
12．证明：对任何整数，下列的值都不会等于33．
莫斯科市奥林匹克试题）
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