专题28 整体与完形。
阅读与思考。
许多几何问题，常因图形复杂、不规则而给解题带来困难，这些复杂、不规则的图形，从整体考虑，可看作某种图形的一部分，如果将它们补充完整，就可得到常见的特殊图形，那么就能利用特殊图形的特殊性质转化问题，这就是解几何问题的补形法，常见的补形方法有：
1. 将原图形补形为最能体现相关定理、推论、公理的基本图形；
2. 将原图形补形为等腰三角形、等边三角形、直角三角形等特殊三角形；
3. 将原图形补形为平行四边形、矩形、正方形、梯形等特殊四熟悉以下图形：
例题与求解。
例1】 如图，已知cd∥af，∠cde＝∠baf，ab⊥bc，∠e＝，∠c＝，则∠afe度。 (北京市竞赛试题)
解题思路：有平行的条件，不妨将六边形补形为较为规整的平行四边形。
例2】 设分别是△abc的三边长， 且满足，则它的内角∠a、∠b的关系是（ ）
a.∠b＞2∠ab.∠b＝2∠ac.∠b＜2∠a d.不确定。
全国初中数学竞赛试题）
解题思路：从化简已知等式入手，并补出相应的图形。
例3】 如图1，bd，ce分别是△abc的外角平分线，过点a作af⊥bd，ag⊥ce，垂足分别为f，g，连结fg，延长af，ag，与直线bc相交，易证。
若（1）bd，ce分别是△abc的内角平分线（如图2）；（2）bd为∠abc的内角平分线；（3）ce为△abc的外角平分线（如图3），则在图2、图3两种情况下，线段fg与△abc三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明。
黑龙江省中考试题）
解题思路：既有平分线又有垂线，联想到等腰三角形性质，考虑将图形补成等腰三角形。
例4】 如图，四边形abcd中，∠abc＝，∠bcd＝，ab＝，bc＝，cd＝，求ad的长全国初中数学竞赛试题）
解题思路：由于四边形abcd是一般四边形，所以直接求ad比较困难，应设法将ad转化为特殊三角形的边。
例4题图例5题图
【例5】 如图，凸八边形中试证明：该凸八边形内任意一点到8条边的距离之和是一个定值。
山东省竞赛试题）
解题思路：本例是一个几何定值证明问题，关键是将八边形问题转化为三角形或四边形问题来解决，若连结对角线，则会破坏一些已知条件，应当考虑向外补形。
【例6】 如图，在△abc中，∠abc＝，点d在边bc上，∠adc＝，且。将△acd以直线ad为轴作轴对称变换，得到△，连结。
1) 证明：⊥;
(2) 求∠c的大小。
全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题）
解题思路：本题分别考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定及轴对称的性质，解题的关键是利用角平分线的性质与判定构造全等三角形，然后利用全等三角形的性质即可解决问题。
能力训练。1.如图，在四边形abcd中，∠a＝∠c＝，ab＝ad，若这个四边形的面积为12，则bc＋cd山东省竞赛试题）
2. 如图，凸五边形abcde中，∠a＝∠b＝，ea＝ab＝bc＝，cd＝de＝，则这个五边形的面积为。
美国ahsme试题）
3. 如图，一个凸六边形六个内角都是，其中连续四条边的长依次为，则该六边形的周长为。
4. 如图，abcdef是正六边形，m，n分别是边cd，de的中点，线段am与bn相交于p，则。
浙江省竞赛试题）
5. 如图，长为的三条线段交于o点，并且∠＝∠则三个三角形的面积和填“＜”或“＞”
“希望杯”邀请赛试题）
6. 如图，在四边形abcd中，∠a＝，∠b＝∠d＝，bc＝，cd＝，则ab
abcd.
广西壮族自治区中考试题）
7. 如图，在△abc中，m为bc中点，an平分∠a，an⊥bn于n，且ab＝，ac＝，则mn等于（ ）
abcd.
8. 如图，在四边形abcd中，ab＝bc，∠abc＝∠cda＝，be⊥ad于e，，则be的长为（ ）
abcd.
9. 如图，在四边形abcd中，ab＝，bc＝，cd＝，∠b＝，∠c＝，则∠d等于（ ）
a. b. c. d.条件不够，无法求出。
重庆市竞赛试题）
10. 如图，在△abc中，e是ac中点，d是bc边上一点，若bc＝，∠abc＝，∠bac＝，∠ced＝，求的值。
11. 如图，设是的斜边长，是直角边，求证：.
加拿大中学生竞赛试题）
12. 如图，已知八边形abcdefgh所有的内角都相等，而且边长都是整数。求证：这个八边形的对边相等。
13. 如图，设p为△abc的中位线de上的一点，bp交ac于n，cp交ab于m，求证：.
齐齐哈尔市竞赛试题）
14. 一个圆内接八边形相邻的四条边长是，另四条边长是，求八边形的面积。
八年级数学专题培优
专题一 一次函数。1 甲乙两个仓库要向a b两地运送水泥，已知甲库可调出100吨水泥 乙库可调出80吨水泥。a地需70吨水泥。b地需110吨水泥。两库到a b两地的路程和运费如下表 表中运费栏 元 吨。千米 表示每吨水泥运送一千米所需人民币 1 设甲库运往a地水泥x吨 求总运费y 元 关于x 吨 的...
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八年级数学培优竞赛专题27面积法
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