专题22 关于中点的联想
例例2 b 提示：取的中点，连，，则，例3 提示：取中点，连，证明。
例4 （1）四边形为菱形；
2）成立，连，，由≌，得，又，，则，故四边。
形为菱形；3）四边形是正方形。
例5 证明：延长至，使，延长至，使，连，，
有，又，分别是与的中位线，，，故
例6 （1）如图，，，皆为等腰三角形，连，，则，2）如图，分别延长，交于，，则∥
a级。1.平行四边形 （1）菱形、矩形、正方形、菱形；（2）对角线互相垂直、对角线相等、对。
角线互相垂直且相等。
9.提示：取中点，连结，，则，证明。
10.提示：取中点，连结，，则。
11.（1）略。
（2）连，，则四边形为平行四边形，可证明≌，则，延长交于，则，则=，故是等腰直角三角形。
（3）是。12.如图，作□，连接，取的中点，则四边形是梯形，连接，，由梯形中位线定理知。
且，，同理作□，取的中点，连接，，由梯形中位线定理知，∥∥
且，在与中，，。又，b级。
1.48 提示：取中点，连接，则， =2he．
2．10 提示：取ad中点e，连接me，ne，则me=ne．
3．60° 提示：分别取ab、ac中点f、g，连接fp、gp，fm，gn．
4．c5．b 提示：连接ac，取ac中点p，连接pm，pn．
6．d 提示：连接ef，fg，gh，he，ac．
7．分别取ap，bp的中点m，n，连接em，dm，fn，dn．
∠amd=∠bnd．
m，n分别是rt△aep，rt△bfp斜边的中点，em=am=dn，fn=bn=dm，又de=df，∴△dem≌△dfn，得∠emd=∠fnd，∠ame=∠bnf，而△ame，△bnf均为等腰三角形，∠pae=∠pbf．
8．提示：分别取bc，de中点m，n，连接em，dm，mn，则em=dm，mn⊥fg，fb∥mn∥cg．
9．证明：延长nd至p，使dp=dn，连接bp，则由△bpd≌△cnd，得bp=cn，∠dbp=∠dcn
ac∥bp，mp=mn．
由mn2=bm2+cn2得mp2=bm2+bp2．
∠mbp=∠bac=90°．
在rt△abc中，bc2=ab2+ac2，把ad=代入上式，得ad2=．
10．（1）延长bm交ce于n，由△dbm≌△enm，得bm=cm=mn．
2）mb=mc仍能成立，取ad中点p，ae中点q，连接pb，pm，cq，mq，mp=，mq=，∠bpm=∠mqc，由△pbm≌△qmc得mb=mc．
11．（1）先证△ado≌△bco，则∠oad=∠obc，又∵m为ad中点，则∠aom=∠oad，∴∠oad=∠cbo=∠aom，推出om⊥bc．
2）①延长do至n，使od=on，连an，则om=，om∥an，证明△boc≌△aon，得bc=an，则om=．
∵∠cbo=∠nao，延长bc交an于h，则∠aob=∠ahc=90°，则bh⊥an，又an∥om得bc⊥om．
12．（1）略。
2）延长mp与nc的延长线交于点e，证明△bpm≌△cpe，得pm=pe，，在rt△mne中，pn=，∴pm=pn．
3）四边形mbcn是矩形，pm=pn成立．
八年级数学培优专题22关于中点的联想
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八年级数学专题培优
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