八年级数学上培优专题七最短路径问题

专题七最短路径问题。

1．最短路径问题。

1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．

如图所示，点a，b分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点c，使ca＋cb最短，这时点c是直线l与ab的交点．

2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．

如图所示，点a，b分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点c，使ca＋cb最短，这时先作点b关于直线l的对称点b′，则点c是直线l与ab′的交点．

为了证明点c的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点c′，连接ac′，bc′，b′c′，证明ac＋cb＜ac′＋c′b.如下：

证明：由作图可知，点b和b′关于直线l对称，所以直线l是线段bb′的垂直平分线．

因为点c与c′在直线l上，所以bc＝b′c，bc′＝b′c′.

在△ab′c′中，ab′＜ac′＋b′c′，所以ac＋b′c＜ac′＋b′c′，所以ac＋bc＜ac′＋c′b.

例1】在图中直线l上找到一点m，使它到a，b两点的距离和最小．

分析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l的交点m即为所求的点．

解：如图所示：(1)作点b关于直线l的对称点b′；

2)连接ab′交直线l于点m.

3)则点m即为所求的点．

点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题。

2.运用轴对称解决距离最短问题。

运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．

警误区利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．

3．利用平移确定最短路径选址。

选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上．如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决．

解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．

在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题．

例2】如图，小河边有两个村庄a，b，要在河边建一自来水厂向a村与b村供水．

1)若要使厂部到a，b村的距离相等，则应选择在哪建厂？

2)若要使厂部到a，b两村的水管最短，应建在什么地方？

分析：(1)到a，b两点距离相等，可联想到“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，又要在河边，所以作ab的垂直平分线，与ef的交点即为符合条件的点．

2)要使厂部到a村、b村的距离之和最短，可联想到“两点之间线段最短”，作a(或b)点关于ef的对称点，连接对称点与b点，与ef的交点即为所求．

解：(1)如图1，取线段ab的中点g，过中点g画ab的垂线，交ef于p，则p到a，b的距离相等．也可分别以a、b为圆心，以大于ab为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，与ef的交点p即为所求．

2)如图2，画出点a关于河岸ef的对称点a′，连接a′b交ef于p，则p到a，b的距离和最短．

例3】如图，从a地到b地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从a地到b地的路程最短？

思路导引：从a到b要走的路线是a→m→n→b，如图所示，而mn是定值，于是要使路程最短，只要am＋bn最短即可．此时两线段应在同一平行方向上，平移mn到ac，从c到b应是余下的路程，连接bc的线段即为最短的，此时不难说明点n即为建桥位置，mn即为所建的桥．

解：(1)如图2，过点a作ac垂直于河岸，且使ac等于河宽．

2)连接bc与河岸的一边交于点n.

3)过点n作河岸的垂线交另一条河岸于点m.

则mn为所建的桥的位置．

4．生活中的距离最短问题。

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