四、教学过程设计。
引言。前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用说学知识**数学史中著名的“将军饮马问题”．
1．将实际问题抽象为数学问题。
问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：
从图1 中的a地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到b地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．
你能将这个问题抽象为数学问题吗？
图1图21)这是一个实际问题，你打算首先做什么？
师生活动：学生回答——将a，b两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线(图2)．
2)你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？
师生活动：学生先互相交流，尝试回答，并相互补充，最后达成共识：(1)从a地出发，到河边l饮马，然后到b地；(2)在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与a，b连接起来的两条线段的长度之和，就是从a地到饮马地点，再回到b地的路程之和；(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设c为直线l上的一个动点，上面的问题就转化为：
当点c在l的什么位置时，ac与cb的和最小(图3)．
图3设计意图：让学生将实际问题抽象为数学问题，即将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”．
2．尝试解决数学问题。
问题2 如图3，点a，b在直线l的同侧，点c是直线上的一个动点，当点c在l的什么位置时，ac与cb的和最小？
师生活动：学生独立思考，互相交流，画图分析，并尝试回答，相互补充．
如果学生有困难，教师可作如下提示：
1)如图4，点a，b分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点分别到点a与点b的距离和最短？
2)对于问题2，如何将点b“移”到l的另一侧b′处，满足直线l上的任意一点c，都保持cb与cb′的长度相等？
3)你能利用轴对称的有关知识，找到(2)中符合条件的点b′吗？
对于(1)，学生利用已经学过的知识，很容易解决这个问题．即：连接ab，与直线l相交于一点，根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求；对于(2)(3)，学生独立思考后，尝试画图，寻找符合条件的点，然后小组交流，学生代表汇报交流结果，师生共同补充．得出：只要作出点b关于l的对称点b′，就可以满足cb′＝cb(图5)．再利用(1)的方法，连接ab′，则ab′与直线l的交点即为所求．
学生叙述，教师板书，并画图(图5)，同时学生在自己的练习本上画图．
作法：(1)作点b关于直线l的对称点b′；
2)连接ab′，与直线l相交于点c．
则点c即为所求．
设计意图：通过搭建台阶，为学生**问题提供“脚手架”，将“同侧”难于解决的问题转化为“异侧”容易解决的问题，渗透转化思想．
3．证明“最短”
问题3：你能用所学的知识证明ac＋bc最短吗？
先小组讨论十分钟。
师生活动：师生共同分析，然后学生说明证明过程，教师板书：
证明：如图6，在直线l上任取一点c′(与点c不重合)，连接ac′，bc′，b′c′．
由轴对称的性质知，bc＝b′c，bc′＝b′c′．
ac＋bc＝ac＋b′c＝ab′，ac′＋bc′＝ac′＋b′c′．
在△ab′c′中，ab′＜ac′＋b′c′， ac＋bc＜ac′＋bc′．
即ac＋bc最短．
追问1：证明ac＋bc最短时，为什么要在直线l上任取一点c′(与点c不重合)，证明ac＋bc＜ac′＋bc′？这里的“c′”的作用是什么？
师生活动：学生相互交流，教师适时点拨，最后达成共识：若直线l上任意一点(与点c不重合)与a，b两点的距离和都大于ac＋bc，就说明ac＋bc最小．
设计意图：让学生进一步体会作法的正确性，提高逻辑思维能力．
追问2: 回顾前面的**过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？
师生活动：学生回答，并相互补充．
设计意图：让学生在反思的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想，丰富数学活动经验．
练习。如图7，一个旅游船从大桥ab的p处前往山脚下的q处接游客，然后将游客送往河岸bc上，最后回到p处，请画出旅游船的最短路径．
师生活动：学生分析解题思路，并相互补充，然后独立完成画图．其基本思路为：由于两点之间线段最短，所以首先可连接pq，线段pq为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为一条直线bc，这样问题就转化为“点p，q在直线bc的同侧，如何在bc找到一点r，使pr与qr的和最小”．
设计意图：让学生进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和基本方法．
4．小结。教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：
1)本节课研究问题的基本过程是什么？
2)轴对称在所研究问题中起什么作用？
设计意图：引导学生把握研究问题的基本策略、基本思路和基本方法，体会轴对称在解决最短路径问题中的作用，感悟转化思想的重要价值。
5. 思考题
如图，一牧民需要从p处把羊赶去草地吃草，后去水渠喝水，最后回到营地q处，牧民该如何规划路钱？ m 草地。.p.q
水渠n设计意图：这个问题学生们肯定有多种方案，让他们课后自己讨论，用自己的知识去说服别人，通过这种互相竞争的方式，培养他们对数学的兴趣。
这节课知识点虽然比较单一，内容也比较少，但是最短路径问题也不是那么好理解的，要光靠讲能讲清并不容易，索性我就把课堂教给学生，自己充当一个解惑答疑者。这节课我每一个环节都让学生小组间讨论完成，既经过自己独立思考，又培养他们互相学习互相帮组的习惯，稳扎稳打把问题弄清，确实学生掌握的比老师讲的要透彻，教师将千万道，不如学生独立弄懂一道。教学还是不能急，要根据学生的能力，掌握情况及时调整教学方式方法。
太平狮峰学校：黄龙。
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