专题诠释：考查知识点---两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。
解题总思路---找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。
教学过程：一、数学模型。
1、实际问题：
如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，修在河边什么地方可使所用的水管最短。
2、数学问题：
已知：直线l和l的同侧两点a、b。
求作：点c，使c在直线l上，并且ac＋cb最小。
二、例题讲解。
例1、（10湖北荆门）一次函数的图象与x、y轴分别交于点a（2，0），b（0，4）．
1）求该函数的解析式；
2）o为坐标原点，设oa、ab的中点分别为c、d，p为ob上一动点，求pc＋pd的最小值，并求取得最小值时p点坐标．
例2、问题**。
1）如图，四边形是正方形，，为边的中点，为上的一个动点，求的最小值；
2）如图，若四边形是菱形，，，为边上的一个动点，为上的一个动点，求的最小值；
问题解决。3）如图，若四边形是矩形，，，为边上的一个动点，为上的一个动点，求的最小值；
图图图。例3、如图，在直角坐标系中，点a的坐标为（-2，0），连结0a，将线段oa绕原点o顺时针旋转120。，得到线段ob.
1）求点b的坐标；
2）求经过a、o、b三点的抛物线的解析式；
3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点c，使△boc的周长最小？若存在，求出点c的坐标；若不存在，请说明理由。（注意：本题中的结果均保留根号）
冲刺中考：1、（2024年达州）在边长为2㎝的正方形abcd中，点q为bc边的中点，点p为对角线ac上一动点，连接pb、pq，则△pbq周长的最小值为结果不取近似值）.
2、(2024年抚顺市)如图所示，正方形的面积为12，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为（ ）
a． b． c．3 d．
3、(2024年鄂州)已知直角梯形abcd中，ad∥bc，ab⊥bc，ad=2，bc=dc=5，点p在bc上移动，则当pa+pd取最小值时，△apd中边ap上的高为（ ）
a、 b、 c、 d、3
4、如图，在锐角中，，的平分线交于点分别是和上的动点，则的最小值是___
5、如图，在△abc中，ac=bc=2，∠acb=90。，d是bc边的中点，e是ab边上一动点，则ec+ed的最小值是。
6、如图，是上的三点，以为一边，作，过上一点，作交于点．若，则点到弦的距离为。
7、如图，的半径是4，是内一点，且，过点的弦与形成的的最大面积为。
8、△abc中，∠c = 90°，ab = 10，tan a =，过ab边上一点p作pe⊥ac于e，pf⊥bc于 f，e、f是垂足，则ef的最小值等于。
9、如图，在矩形中，已知、两点的坐标分别为，为的中点．设点是平分线上的一个动点（不与点重合）．
1）试证明：无论点运动到何处，总造桥与相等；
2）当点运动到与点的距离最小时，试确定过三点的抛物线的解析式；
3）设点是（2）中所确定抛物线的顶点，当点运动到何处时，的周长最小？求出此时点的坐标和的周长；
4）设点是矩形的对称中心，是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标．
10、（2011广东深圳）已知抛物线的顶点c的坐标是（1,4），图象与x轴交于a，b.其中b点坐标为（3,0）.点d是抛物线与y轴的交点。
1） 求抛物线的解析式。
2） 如图，点e为抛物线上一点，直线ae交y轴于点f。pq为抛物线的对称轴，g为pq上的动点，则x轴上是否存在h，使得四边形dghf周长最小。
3） 在抛物线上是否存在一点t,过t做x轴的垂线，垂足为m。过点m作mn∥bd，交ad于点n，连接md，使△dnm∽△bmd，若存在，求点t的坐标。
不管在什么背景下，有关线段之和最短问题，总是化归到“两点之间的所有连线中，线段最短”，而转化的方法大都是借助于“轴对称点”
补充例题：例1、已知：直线与轴交于a，与轴交于d，抛物线与直线交于a、e两点，与轴交于b、c两点，且b点坐标为 （1，0）．
1）求抛物线的解析式；
2）动点p在轴上移动，当△pae是直角三角形且以p为直角顶点时，求点p的坐标．
3）在抛物线的对称轴上找一点m，使的值最大，求出点m的坐标．
答案。（1）将a（0，1）、b（1，0）坐标代入得。
解得 抛物线的解折式为3分。
2）设点e的横坐标为m，则它的纵坐标为，则e（，）
又∵点e在直线上，∴．
解得（舍去），．e的坐标为（4，34分。
过e作轴于，设p(b,0)．
由，得．由得．解得，．
此时的点p的坐标为（1，0）或（3，06分。
3）抛物线的对称轴为． ∵b、c关于对称，∴．
要使最大，即是使最大8分。
由三角形两边之差小于第三边得，当a、b、m在同一直线上时的值最大．
例2、如图（1），抛物线和轴的交点为为的中点，若有一动点，自点处出发，沿直线运动到轴上的某点（设为点），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点），最后又沿直线运动到点，求使点运动的总路程最短的点，点的坐标，并求出这个最短路程的长。
解：如图（1`），由题意可得（0，3），，抛物线的对称点。
为，点关于轴的对称点为，点关于抛物线。
对称轴的对称点为（6，3）。连结。
根据轴对称性及两点间线段最短可知， 的长就是所求点运动中。
最短总路程的长， 在直线的方程为（过程略）。
设与的交点为则为在轴上所求的点， 与直线。
的交点为所求的f点。
可得点的坐标为（2，0），f点的坐标为）。
由勾股定理可求出（过程略）
所以点运动的总路程（）最短时间为。
例3、几何模型：
条件：如图，、是直线同旁的两个定点．
问题：在直线上确定一点，使的值最小．
方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，则的值最小（不必证明）．
模型应用：1）如图1，正方形的边长为2，为的中点，是上一动点．连结，由正方形对称性可知，与关于直线对称．连结交于，则。
的最小值是。
2）如图2，的半径为2，点在上，是上一动点，求的最小值；
3）如图3，，是内一点，分别是上的动点，求周长的最小值．
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