专题 22 关于中点的联想。
阅读与思考。
线段的中点把线段分成相等的两部分，图形**现中点，可以引起我们丰富的联想：首先它和三角形的中线紧密联系；若中点是在直角三角形的斜边上，又可以引用“斜边上的中线等于斜边的一半”结论；其次，中点又与中位线息息相关；另外，中点还可以与中心对称相连．
解答中点问题的关键是恰当地添加辅助线，如作中线倍长、作直角三角形的斜边上的中线、构造三角形、梯形中位线、构造中心对称图形等，如图所示：
例题与求解。
例1】如图，△abc边长分别为ab＝14，bc＝16，ac＝26，p为∠a的平分线ad上一点，且bp⊥ad，m为bc的中点，则pm的值为安徽省竞赛试题)
解题思路：∠a的平分线与bp边上的垂线互相重合，通过作辅助线，点p可变为某线段的中点，利用三角形中位线定理解题．
例2】如图，边长为1的正方形efgh在边长为3的正方形abcd所在的平面上移动，始终保持ef∥ab，线段cf，dh的中点分别为m，n，则线段mn的长度为北京市竞赛试题)
abcd．解题思路：连接cg，取cg的中点t，构造三角形中位线、梯形中位线．
例3】如图，在△abc中，ab＝ac，延长ab到d，使bd＝ab，e为ab中点，连接ce，cd，求证：cd＝2ec． (宁波市竞赛试题)
解题思路：图形中有两个中点e，b，联想到与中点相关的丰富知识，将线段倍分关系的证明转化为线段相等关系的证明，关键是恰当添加辅助线．
例4】如图1，p是线段ab上一点，在ab的同侧作△apc和△bpd，使∠apc＝∠bpd，pc＝pa，pd＝pb，连接cd，点e，f，g，h分别是ac，ab，bd，cd的中点，顺次连接e，f，g，h．
1) 猜想四边形efgh的形状，直接回答，不必说明理由；
2) 当点p**段ab的上方时，如图2，在△apb的外部作△apc和△bpd，其他条件不变，(1)中的结论还成立吗？说明理由；
3) 如果(2)中，∠apc＝∠bpd＝90°，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形efgh的形状，并说明理由． （营口市中考试题）
图图图③解题思路：结论随着条件的改变也许发生变化，但解决问题的方法是一致的，即通过连线，为三角形中位线定理的应用创造条件．
例5】如图，以△abc的ab，ac边为斜边向形外作直角三角形abd和ace，且使∠abd＝∠ace，m是bc的中点，求证：dm＝em祖冲之杯”邀请赛试题）
解题思路：显然△dbm不全等于△ecm，必须通过作辅助线，构造全等三角形证明dm＝em．
例6】如图，已知△abc中，∠acb＝90°，ab边上的高ch与△abc的两条内角平分线am，bn分别交于p，q两点，pm，qn的中点分别为e，f，求证：ef∥ab． （全国初中数学联赛题）
解题思路：从图形的形成过程，逐步探索相应结论．将原问题分解为多个小问题．
a 级。1．如图，若e，f，g，h分别是四边形abcd各边的中点，则四边形efgh是。
(1)如果把条件中的四边形abcd依次改为矩形、菱形、正方形或等腰梯形，其他条件不变，那么所得的四边形efgh分别为。
2)如果把结论中的平行四边形efgh依次改为矩形、菱形、正方形，那么原四边形abcd应具备的条件是湖北省黄冈市中考试题）
2．如图，已知ag⊥bd，af⊥ce，bd，ce分别是∠abc和∠acb的角平分线，若bf＝2，ed＝3，gc＝4，则△abc的周长为重庆市竞赛试题)
3．如图，在△abc中，ab＝ac，ad⊥bc于点d，e是ac的中点，若bc＝16，de＝5，则ad南京市中考试题）
4．如图，在△abc中，ab＝ac，m，n分别是ab，ac的中点，d，e为bc上的点，连接dn，em，若ab＝13cm，bc＝10cm，de＝5cm，则图中阴影部分的面积为。
（北京市中考试题）
5．a′，b′，c′，d′顺次为四边形abcd的各边的中点，下面条件中使四边形a′b′c′d′为正方形的条件是（ ）
a．四边形abcd是矩形b．四边形abcd是菱形
c．四边形abcd是等腰梯形 d．四边形abcd中，ac⊥bd且ac＝bd
6．若等腰梯形的两条对角线互相垂直，中位线长为8cm，则该等腰梯形的面积为（ ）
a．16cm2 b．32cm2 c．64cm2 d．112cm2
7．如图，梯形abcd中，ad∥bc，e，f分别是bd，ac的中点，若ad＝6cm，bc＝18cm，则ef的长为（ ）
a．8cm b．7cm c．6cm d．5cm
8．如图，在梯形abcd中，ad∥ef∥gh∥bc，ae＝eg＝gb，ad＝18，bc＝32，则ef＋gh＝（
a．40 b．48 c．50 d．56泰州市中考试题）
第8题图第9题图。
9．如图，在△abc中，∠b＝2∠c，ad⊥bc于点d，m是bc的中点，求证：dm＝ab．
10． 如图，在△abc中，bd＝ce，be，cd的中点分别是m，n，直线mn分别交ab，ac于点p，q，求证：ap＝aq．
11．在图1至图3中，点b是线段ac的中点，点d是线段ce的中点．四边形bcgf和cdhn都是正方形．ae的中点是m．
1）如图1，点e在ac的延长线上，点n与点g重合时，点m与点c重合，求证：fm = mh，fm⊥mh；
2）将图1中的ce绕点c顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：△fmh是等腰直角三角形；
3）将图2中的ce缩短到图3的情况，△fmh还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）
(2023年河北省中考试题)
12．在六边形abcdef中，ab∥de，bc∥ef，cd∥fa，ab＋de＝bc＋ef，a1，b1，d1，e1分别是边ab，bc，de，ef的中点，a1d1＝b1e1．求证：∠cde＝∠afe．
b 级。1．如图，正方形abcd两条对角线相交于点e，∠cad的平分线af交de于点g，交dc于点f，若ge＝24，则fc
2．如图，四边形abcd的对角线ac，bd相交于点f，m，n分别是ab，cd的中点，mn分别交bd，ac于点p，q，且∠fpq＝∠fqp，bd＝10，则ac重庆市竞赛试题）
3．如图，在△abc中，∠bac＝120°，以ab，ac为边分别向形外作正三角形abd和正三角形ace，m为ad的中点，n为ae的中点，p为bc的中点，则∠mpn北京市竞赛试题）
4．如图，已知a为de的中点，设△dbc，△abc，△ebc的面积分别为s1，s2，s3，则s1，s2，s3之间的关系是（ ）
a．s2＝(s1＋s3) b．s2＝(s3―s1) c．s2＝(s1＋s3) d．s2＝(s3―s1)
5．如图，在图形abcd中，ab∥dc，m为dc的中点，n为ab的中点，则 (
a．mn＞(ad＋bc) b．mn＜(ad＋bc)
八年级数学培优专题22关于中点的联想答案
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