《二次根式》培优习题训练
知识要点】
1.二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中。
叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．
3. 公式与的区别与联系。
1）表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数．
2）表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数．
3）和的运算结果都是非负的．
4、性质：（1）非负性：是一个非负数．
注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．
（2）. 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完。
全平方的形式：
注意：（1）字母不一定是正数．
2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．
3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．
5、（1）最简二次根式：①被开方数是整数，因式是整式；
被开方数中不含能开得尽方的数或因式；分母中不含根号．
2）同类二次根式（可合并根式）：
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。
6、（1）分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
2）有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们。
的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有。
理化因式确定方法如下：
单项二次根式：利用来确定，如：，，与等分别互为有理化因式。
两项二次根式：利用平方差公式来确定。如与，，分别互为有理化因式。
3）分母有理化的方法与步骤：
①先将分子、分母化成最简二次根式；
②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；
③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。
7、二次根式的运算：
（1）二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。反过来就是积的算术平方根的性质。
（2）二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等。
于这两个数的商的算术平方根。反过来就是商的算术平方根的性质。,
注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从。
等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最。
后把运算结果化成最简二次根式．
3）二次根式的加减法法则：需要先把二次根式化简，然后把。
被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开。
方数不变。注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通。
常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次。
根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数．
8、混合运算：（1）确定运算顺序；（2）灵活运用运算定律；
3）正确使用乘法公式；（4）大多数分母有理化要及时；
5）在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化；
9、比较大小：
1）根式变形法：当时，如果，则；
如果，则。（2）平方法：当时，
如果，则；如果，则。（3）分母有。
理化法：通过分母有理化，利用分子的大小来比较。（4）分子有。
理化法：通过分子有理化，利用分母的大小来比较。（5）倒数法。
6）媒介传递法适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递。
性进行比较。（7）作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如。
下性质： ；8）求商比较
法它运用如下性质：当a>0，b>0时，则： ；
典例解析】1、概念。
1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、x>0）、、x≥0，y≥0）．
2．把二次根式（y>0）化为最简二次根式结果是（ ）
a．（y>0） b．（y>0） c．（y>0） d．以上都不对。
3．化简x≥0）
4．a化简二次根式号后的结果是。
5．以下二次根式：①；中，与是同类二次根式的是（ ）
a．①和② b．②和③ c．①和④ d．③和④
6．在、-2中，与是同类二次根式的有。
7.若最简二次根式与是同类二次根式，求m、n的值．
8. +的有理化因式是x-的有理化因式是的有理化因式是___
2.把下列各式的分母有理化。
二、二次根式有意义的条件：
1．（1）当x是多少时，在实数范围内有意义？
2）当x是多少时， +在实数范围内有意义？
3）当x是多少时，+x2在实数范围内有意义？
4）当时，有意义。
2. 使式子有意义的未知数x有（ ）个．
a．0 b．1 c．2 d．无数。
3．已知y=++5，求的值．
6．要是下列式子有意义求字母的取值范围。
三、二次根式的非负数性。
1．若+=0，求a2004+b2004的值．
2.若，求的值。
四的应用。1．先化简再求值：当时，求a+的值，甲乙两人。
的解答如下：甲的解答为：原式=a+=a+（1-a）=1；乙的。
解答为：原式=a+=a+（a-1）=2a-1=17．
两种解答中，__的解答是错误的，错误的原因是。
2. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│++
3．化简a的结果是（ ）
a． b． c．- d．-
五、求值问题：
1.当x=+,y=,求x2-xy+y2的值。
2．已知a=3+2，b=3-2，则a2b-ab2
3.已知a=-1,求a3+2a2-a的值。
4．先化简，再求值．
（6x+）-4x+），其中x=，y=27．
六、大小的比较。
1. 比较与的大小。（用两种方法解答）
2.比较与的大小。
3.比较与的大小。
七、其他。1．等式成立的条件是（ ）
a．x≥1 b．x≥-1 c．-1≤x≤1 d．x≥1或x≤-1
2.已知，且x为偶数，求（1+x）的值．
a．2 b．3 c．4 d．1
3.如果 , 则x的取值范围是。
4.设a=，b=，c=，则a、b、c的大小关系是。
5.若是一个整数，则整数n的最小值是。
6.已知的整数部分为a，小数部分为b，试求的值。
八、计算。14、大我数地区的自来水水源取自水库、湖泊或河流。自来水是主要的饮用水，饮用水源受到污染，会直接影响我们的身体健康。1. ·m>0，n>0）
2、人们通常处理垃圾的方法有填埋或焚烧。
2、你知道哪些昆虫？
2.-3÷（）a>0）
二、问答：14、大我数地区的自来水水源取自水库、湖泊或河流。自来水是主要的饮用水，饮用水源受到污染，会直接影响我们的身体健康。
11、在淡水资源短缺的情况下，水污染更给人类和其他生物造成了威胁。绝大多数的水污染都是由人类的活动引起的。3. 4.
10、日食：当月球运动到太阳和地球中间，如果三者正好处在一条直线上时，月球就会挡住太阳射向地球的光，在地球上处于影子中的人，只能看到太阳的一部分或全部看不到，于是就发生了日食。日食时，太阳被遮住的部分总是从西边开始的。
13、清洁的自来水被用来洗脸、刷牙、洗衣、拖地后就成了污水。
7、硫酸铜溶液与铁钉的反应属于化学反应。硫酸铜溶液的颜色是蓝色，将铁钉浸入硫酸铜溶液中，我们发现铁钉变红了。
6、重新使用是指多次或用另一种方法来使用已用过的物品，它也是减少垃圾的重要方法。
八年级数学二次根式
第十六章 二次根式。一般地，我们把形同 这样的式子叫做二次根式，称为二次根号。考点1.二次根式有意义。例 当是一个怎么样的实数时，在实数范围内有意义？解 由，得。当时，在实数范围内有意义。练习 当是一个什么样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？考点2.二次根式的计算。例 计算下列各式。解 1 1....
八年级数学二次根式练习
二次根式精品练习。一 选择题 共13小题 1 2015蓬溪县校级模拟 下列选项中，使根式有意义的a的取值范围为a 1的是 2 2014余姚市校级模拟 当x 1时，化简的结果为 3 2014春射阳县校级期末 已知x y为实数，则yx的值等于 4 2014春武侯区期末 如果代数式有意义，那么x的取值范围...
八年级数学二次根式教案
教学目标 1 经历二次根式的性质 a 0 的发现过程，体验归纳，猜想的思想方法 2 了解二次根式的上述两个性质。3 会运用上述两个性质进行有关的计算。教学重点 难点 重点 本节的重点是二次根式性质 a 0 难点 教学过程 一 引入新课。1 提问 2的平方根是什么？什么数的平方是2？得到 2 2 2 ...