专题02 乘法公式。
阅读与思考。
乘法公式是多项式相乘得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论,在整式的乘除、数值计算、代数式的化简求值、代数式的证明等方面有广泛的应用,学习乘法公式应注意:
1.熟悉每个公式的结构特征;
2.正用即根据待求式的结构特征,模仿公式进行直接的简单的套用;
3.逆用即将公式反过来逆向使用;
4.变用即能将公式变换形式使用;
5.活用即根据待求式的结构特征,探索规律,创造条件连续综合运用公式.
例题与求解。
例1】 1,2,3,…,98共98个自然数中,能够表示成两个整数的平方差的个数是。
全国初中数字联赛试题)
解题思路:因,而的奇偶性相同,故能表示成两个整数的平方差的数,要么为奇数,要么能被4整除.
例2】(1)已知满足等式,则的大小关系是( )
abcd.
山西省太原市竞赛试题)
2)已知满足,则的值等于( )
a.2b.3c.4d.5
河北省竞赛试题)
解题思路:对于(1),作差比较的大小,解题的关键是逆用完全平方公式,揭示式子的非负性;对于(2),由条件等式联想到完全平方式,解题的切入点是整体考虑.
例3】计算下列各题:
1天津市竞赛试题)
2希望杯”邀请赛试题)
解题思路:若按部就班运算,显然较繁,能否用乘法公式简化计算过程,关键是对待求式恰当变形,使之符合乘法公式的结构特征.
例4】设,求的值西安市竞赛试题)
解题思路:由常用公式不能直接求出的结构,必须把表示相关多项式的运算形式,而这些多项式的值由常用公式易求出其结果.
例5】观察:
1)请写出一个具有普遍性的结论,并给出证明;
2)根据(1),计算的结果(用一个最简式子表示).
黄冈市竞赛试题)
解题思路:从特殊情况入手,观察找规律.
例6】设满足求:
1)的值;2)的值.
江苏省竞赛试题)
解题思路:本题可运用公式解答,要牢记乘法公式,并灵活运用.
能力训练。a级。
1.已知是一个多项式的平方,则广东省中考试题)
2.数能被30以内的两位偶数整除的是 .
3.已知那么。
天津市竞赛试题)
4.若则 .
5.已知满足则的值为。
河北省竞赛试题)
6.若满足则等于 .
7.等于( )
abcd.
8.若,则的值是( )
a.正数b.负数c.非负数d.可正可负。
9.若则的值是( )
a.4 b.19922c.21992d.41992
“希望杯”邀请赛试题)
10.某校举行春季运动会时,由若干名同学组成一个8列的长方形队列.如果原队列中增加120人,就能组成一个正方形队列;如果原队列中减少120人,也能组成一个正方形队列.问原长方形队列有多少名同学casio”杯全国初中数学竞赛试题)
11.设,证明:是37的倍数希望杯”邀请赛试题)
12.观察下面各式的规律:
写出第2003行和第行的式子,并证明你的结论.
b级。1.展开式中的系数,当1,2,3…时可以写成“杨辉三角”的形式(如下图),借助“杨辉三角”求出的值为学习报》公开赛试题)
2.如图,立方体的每一个面上都有一个自然数,已知相对的两个面上的两数之和都相等,如果13,9,3的对面的数分别为,则的值为。
天津市竞赛试题)
3.已知满足等式则。
4.一个正整数,若分别加上100与168,则可得两到完全平方数,这个正整数为。
全国初中数学联赛试题)
5.已知,则多项式的值为( )
a.0 b.1 c.2 d.3
6.把2009表示成两个整数的平方差的形式,则不同的表示法有( )
a.16种 b.14种 c.12种 d.10种。
北京市竞赛试题)
7.若正整数满足,则这样的正整数对的个数是( )
a.1 b.2 c.3 d.4
山东省竞赛试题)
8.已知,则的值是( )
a.3 b.9 c.27 d.81
(“希望杯”邀请赛试题)
9.满足等式的整数对是否存在?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
10.数码不同的两位数,将其数码顺序交换后,得到一个新的两位数,这两个两位数的平方差是完全平方数,求所有这样的两位数。
(天津市竞赛试题)
11.若,且, 求证:.
12.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“神秘数”,如。
因此4,12,20这三个数都是神秘数.
1)28和2012这两个数是神秘数吗?为什么?
2)设两个连续偶数为和(其中取非负整数),由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗?为什么?
3)两个连续奇数的平方差(取正值)是神秘数吗?为什么浙江省中考试题)
八年级数学培优专题02乘法公式答案
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