培优专题1勾股定理及应用。
勾股定理是数学史上一颗璀璨的明珠，在西方数学史上称之为“毕达哥拉斯定理”．数学家陈省身说过：“欧几里德几何的主要结论有两个，一个是三角形内角和定理，另一个就是勾股定理．”数学家华罗庚曾建议把它送入其他星球，作为地球人与其他星球人“交谈的语言，用于探索宇宙的奥秘”．
勾股定理是我们研究和解决几何问题的重要理论依据之一，也是人们在生产实践和生活中广泛应用的基本原理，许多求线段长、角的大小；线段与线段，角与角，线段与角间的关系等问题，常常都用勾股定理或逆定理来解决．因此，勾股定理及应用是中考竞赛等考查的重要内容．
例1. 在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，请问水深多少。
练习11．已知：如图2-1，ad=4，cd=3，∠adc=90°，ab=13，∠acb=90°，求图形中阴影部分的面积．
2．已知：长方形abcd，ab∥cd，ad∥bc，ab=2，ad≠dc，长方形abcd的面积为s，沿长方形的对称轴折叠一次得到一个新长方形，求这个新长方形的对角线的长．
3．若线段a、b、c能组成直角三角形，则它们的比值可以是（ ）
a．1：2：4 b．1：3：5 c．3：4：7 d．5：12：13
例2 如图2-2，把一张长方形纸片abcd折叠起来，使其对角顶点a、c重合，若其长bc为a，宽ab为b，则折叠后不重合部分的面积是多少？
练习21．如图2-3，把矩形abcd沿直线bd向上折叠，使点c落在c′的位置上，已知ab=3，bc=7，重合部分△ebd的面积为___
2．如图2-4，一架长2.5m的梯子，斜放在墙上，梯子的底部b离墙脚o的距离是0.7m，当梯子的顶部a向下滑0.4m到a′时，梯子的底部向外移动多少米？
3．如图2-5，长方形abcd中，ab=3，bc=4，若将该矩形折叠，使c点与a点重合，则折叠后痕迹ef的长为（ ）
a．3.74 b．3.75 c．3.76 d．3.77
例3 试判断，三边长分别为2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1（n为正整数）的三角形是否是直角三角形？
分析先确定最大边，再利用勾股定理的判定定理判断是否为直角三角形．
练习31．若△abc的三边a、b、c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，则△abc是（ ）
a．等腰三角形 b．直角三角形 c．锐角三角形 d．钝角三角形。
2．如图2-6，在正方形abcd中，f为dc的中点，e为bc上一点，且ec=bc，猜想af与ef的位置关系，并说明理由．
3．△abc中的三边分别是m2-1，2m，m2+1（m>1），那么（ ）
a．△abc是直角三角形，且斜边长为m2+1．
b．△abc是直角三角形，且斜边长为2m．
c．△abc是直角三角形，但斜边长由m的大小而定．
d．△abc不是直角三角形．
例4 已知：如图2-7所示，△abc中，d是ab的中点，若ac=12，bc=5，cd=6．5．
求证：△abc是直角三角形．
分析欲证△abc是直角三角形，在已知两边ac、bc的情况下求边ab的长，比较困难；但注意到cd是边ab的中线，我们延长cd到e，使de=cd，从而有△bde≌△adc，这样ac、bc、2cd就作为△bce的三边，再用勾股定理的逆定理去判定．
练习41．已知a、b、c为△abc的三边，且满足a2c2-b2c2=a2-b2，试判断△abc的形状．
先阅读下列解题过程：
解：∵a2c2-b2c2=a4-b4， ①
∴c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2）．
∴c2=a2+b2
∴△abc为直角三角形． ④
问：（1）上述推理过程，出现错误的一步是___
（2）本题的正确结论是___
2．如图2-8，△abc的三边分别为ac=5，bc=12，ab=13，将△abc沿ad折叠，使ac落在ab上，求折痕ad的长．
3．如图2-9，△abc中，∠acb=90°，ac=bc，p是△abc内一点，满足pa=3，pb=1，pc=2，求∠bpc的度数．
例5 如图2-10，△abc中，ab=ac=20，bc=32，d是bc上一点，且ad⊥ac，求bd的长．
分析若作ae⊥bc于e，如图2-11，利用勾股定理可求出ae=12，ad是rt△adc的直角边．
∴ad=cd-ac，若设de=x，借助于ad这个“桥”可以列出方程．
解：作ae⊥bc于e．
∵ab=ac，ae⊥bc，∴be=ec=bc=×32=16．
在rt△aec中，ae2=ac2-ce2=202-162=144，∴ae=12．
设de=x，则在rt△ade中，ad2=ae2+de2=144+x2，在rt△acd中，ad2=cd2-ac2=（16+x）2-202．
∴144+x2=（16+x）2-202 解得x=9．
bd=be-de=16-9=7．
练习51．如图2-12，△abc中，∠c=90°，m是bc的中点，md⊥ab于d．
求证：ad2=ac2+bd2．
2．如图2-13，ab⊥ad，ab=3，bc=12，cd=13，ad=4，求四边形abcd的面积．
3．如图2-14．长方体的高为3cm，底面是正方形，边长为2cm，现有绳子从a出发，沿长方形表面到达c处，问绳子最短是多少厘米？
答案：练习1
1．24（提示：利用勾股定理即可求出）
2．长方形的对称轴有2条，要分别讨论：
（1）以a、b为对称点（如图）
∵s=ab×bc，ab=2，∴bc=ad=．
根据对称性得df=ab=1．
由于∠d=90°，据勾股定理得：
af==（2）以a、d为对称点（如图）
∴bf=bc=．
由∠b=90°，据勾股定理得：
af==．3．d
练习21．（提示：利用rt△abe的勾股定理即可求出）
2．0.8m 3．b
练习31．b
2．af⊥ef（提示：连结ae，设正方形的边长为a，则df=fc=，ec=，在rt△adf中，由勾股定理得：
af2=ad2+df2=a2+（）2=a2．
同理：在rt△ecf中，ef2=（）2+（）2=a2，在rt△abe中，be=a，则ae2=a2+a2=a2．
∵a2+a2=a2，∴af2+ef2=ae2．
∴∠afe=90°．
∴af⊥ef．
3．a（点拨：利用勾股定理的逆定理来判定）练习4
（2）△abc为直角三角形或等腰三角形．
2．∵ac2+bc2=52+122=132=ab2，∴∠c=90°．
将△abc沿ad折叠，使ac落在ab上，c的对称点为e（如图）
∴cd=de， ac=ae=5．
则△acd≌△aed．
又be=ab-ae=8．
设cd为x，则x2+82=（12-x）2．
解之得x=．
∴ad2=52+（）2．
∴ad=．3．过点c作ce⊥cp，并截ce=cp=2，连结pe，be．（如图）
∵∠acb=∠pce=90°，∴acb-∠pcb=∠pce-∠pcb．
即∠acp=∠bce．
∴△pca≌△ecb（sas）．
∴be=ap=3．
在rt△pce中，pe2=pc2+ce2=8．
又∵bp2=1，be2=9，∴be2=bp2+pe2．
∴△pbe是直角三角形，其中∠bpe=90°
在rt△pce中，pc=ce，∴∠cpe=∠cep=45°．
∴∠bpc=∠cpe+∠bpe=45°+90°=135°．
练习51．连结am．
∵m为cb的中点，∴cm=mb．
又∵ac2=am2-cm2，bd2=bm2-md2，∴ac2+bd2=am2-md2．
又∵ad2=am2-dm2，∴ad2=ac2+bd2．
2．36（提示：连结bd，利用勾股定理及逆定理即可求出）．
3．5cm（提示：将该长方体的右面翻折，使它与前面在同一平面，连结ac（如图），此时线段ac的长度即为最短距离．
∴ac==5（cm）．
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