《17.2勾股定理的逆定理》
本课在学习勾股定理的基础上，研究当三角形中两边的平方和等于第三边的平方时，这个三角形是否为直角三角形．在研究过程中，介绍了逆命题、逆定理的概念．应用勾股定理及其逆定理解决问题．体会利用勾股定理及其逆定理，可以通过边长关系的计算，判断一个角是否是直角．
1. 理解勾股定理的逆定理，经历“观察－测量－猜想－论证”的定理**的过程，体会数学推理；
2. 了解逆命题的概念，知道原命题为真命题，它的逆命题不一定为真命题．
3. 应用勾股定理的逆定理解决实际问题；
4. 进一步加深对勾股定理与其逆定理之间关系的认识．
1. 探索并证明勾股定理的逆定理。
2. 应用勾股定理及其逆定理解决实际问题。
课件。第一课时。
一、**勾股定理的逆定理：
1. 提出问题：
据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13 个结，然后以3 个结间距，4 个结间距、5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．你认为结论正确吗？
这个问题意味着，如果三角形的三边分别为3，4，5，这些数满足关系：32+42=52，围成的三角形是直角三角形．
设计意图】由古埃及人画直角的方法，引入勾股定理逆定理的猜想，吸引学生研究的兴趣。
2. 实验**：
1）画一画：下列各组数中的两数平方和等于第三数的平方，分别以这些数为边长画出三角形（单位：cm），它们是直角三角形吗？ ①2.5，6，6.5； ②6，8，10．
注意提醒学生：这里2.52+62=6.52； 62+82=102.
2）量一量：用量角器分别测量上述各三角形的最大角的度数．
3）想一想：请判断这些三角形的形状，并提出猜想．
点拨】已知三边长画一个三角形，学生可以借助直尺确定长度，圆规画弧线的方法来完成。
3. 作出猜想：如果三角形的三边长a，b，c满足a+b=c，那么这个三角形是直角三角形。
4. 验证猜想：如果三角形的三边长a，b，c满足a+b=c，那么这个三角形是直角三角形。
已知：如图，△abc的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2.
求证：△abc是直角三角形。
证明：如图，作rt△,使∠=90°，=a， =b,由勾股定理得，.,abc，∠c=∠=90°,即△abc是直角三角形。
5. 得出定理：
如果三角形的三边长a，b，c满足a+b=c，那么这个三角形是直角三角形。
练习1.在△abc中，ac-ab=bc，那么（ ）
a．∠a=90° b.∠b=90° c.∠c=90° d.不能确定哪个角是直角。
二、 逆命题和逆定理的概念：
1. 逆命题和逆定理：
命题1：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a+b=c.
命题2：如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
概念1：两个命题的题设与结论正好相反，像这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．
2. 逆定理：
如果一个定理得逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理。
练习2：说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题是真命题吗？
1）两条直线平行，内错角相等；
2）对顶角相等；
3）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
解：（1）逆命题：内错角相等，两直线平行．真命题．
2）逆命题：相等的角是对顶角．假命题．
3）逆命题：到线段两端点的距离相等的点**段的垂直平分线上．真命题．
反思】任何一个命题都有逆命题；原命题是真命题，其逆命题不一定是真命题．
3、勾股定理逆定理的运用。
问题1：例1 判断由线段a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形：
1） a=15，b=17，c=8； （2） a=13，b=15，c=14；（3） a=，b=4，c=5．
分析】根据勾股定理及其逆定理判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方．
解：（1）∵15+8=225+64=289,17=289，15+8=17，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形；
2）∵13+14=169+196=365,15=225，13+14≠15，根据勾股定理，这个三角形不是直角三角形；
3）∵4+5=16+25=41,( 41，4+5=()根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形。
拓展】像15,8,17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。
练习2：同学们还知道哪些勾股数？请完成以下未完成的勾股数：
答案：5；10；25；41；15.
例2 一般地，如果a、b、c是一组勾股数(c最大)， ak、bk、ck （k是正整数）也是一组勾股数吗？
解：∵a，b，c是一组勾股数，a+b=c.
ak+bk=ck，即(ak)+（bk）=(ck).
又∵k为正整数 ，ak，bk，ck也是正整数，ak，bk，ck(k为正整数)也是一组勾股数。
练习3.请根据上题的结论，由3，4，5再写出几组勾股数。
三、课堂小结：
1.利用勾股定理的逆定理判定是否为直角三角形的一般步骤：
确定最大边长c；②计算a2+b2和c2的值，若a2+b2=c2,则此三角形是直角三角形；若a2+b2c2,则此三角形是锐角三角形。
2. 互逆命题表明两个命题在形式上的关系，将一个命题的题设和结论互换即可得到它的逆命题，当原命题成立时，它的逆命题不一定成立，即互逆的两个命题不一定同真或同假。
第二课时。1、复习回顾：
1. 勾股定理和逆定理的内容是什么？它们之间有何联系和区别？
2.什么是勾股数？能否举出一些常见的勾股数。
二、勾股定理及其逆定理的实际应用：
活动1例1 如图，某港口p位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16nmile，“海天”号每小时航行12nmile,它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
分析】由图可以看出，由于“远航”号得航向已知，如果求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道“海天”号得航向了。
解：根据题意：
pq=16×1.5=24，pr=12×1.5=18，qr=30.
24+18=30，即pq+pr=qr，△pqr为直角三角形，即∠qpr=90°.
∠1=45°，∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行。
活动2例2 某中学有一块四边形的空地abcd，如下图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠a=90°，ab=3m，bc=12m，cd=13m，da=4m，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？
【分析】根据条件易想到链接bd，将四边形的面积转化为两个三角形的面积之和，由ab=3，ad==4，易求bd=5，而△cbd中已知三边的长，可根据勾股定理的逆定理判断该三角形为直角三角形，再根据面积计算公式求出答案。
解：连接bd.在rt△adb中，∠a=90°，bd===5.
在△dbc中，∵bd+bc=5+12=169，cd=13=169，bd+bc=cd，△dbc为直角三角形，即∠dbc=90°.
s四边形abcd=s△abd+s△bcd
需要钱数为36×200=7200元。
答：学校需投入7200元买草皮。
活动3练习1 如图所示的是一块地，已知ad=4m，cd=3m,ad⊥dc，ab=3m，bc=12m，求这块地的面积。
解：连接ac，ad⊥dc，∠adc=90°，在rt△acd中，ac===5,ac+bc=5+12=169，ab=13=169，ac+bc=ab.
△abc是直角三角形。
这块地的面积为s=s△abc-s△acd
24 m答：这块地的面积为24平方米。
练习2 如图，如图，南北向mn为我国领域，即mn以西为我国领海，以东为公海。上午9时50分，我反走私a艇发现正东方向有一走私艇c以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在mn线上巡逻的我国反走私艇b.已知a、c两艇的距离是13海里，a、b两艇的距离是5海里；反走私艇b测得离c艇的距离是12海里。
若走私艇c的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？
【分析】由题意可得△abc的三边长分别为，根据勾股定理逆定理判断∠abc=90°，由题可知走私艇c进入我领海的最近距离是ce，再利用勾股定理建方程求出ce的长，从而解决问题。
解：设mn交ac于e，则∠bec=90°.
ab+bc=5+12=169，ac=13=169，ab+bc=ac，△abc为直角三角形，即∠abc=90°.
mn⊥ac，即ce⊥mn，走私艇c进入我领海的最近距离是ce.
s△abc= =
be==.在rt△bce中，由勾股定理得，ce===
最早进入时间≈0.85小时=51分钟。
9时50分+51分=10时41分。
答：走私艇最早在10时41分进入我国领海。
三、课堂小结：
1.已知一三角形的三边的长度时，首先应对该三角形进行判断，判断最长边的平方是否等于其余两边的平方和，如何满足这一条件则此三角形为直角三角形；
2.勾股定理的逆定理为证明直角三角形提供了新的方法，由数量关系得到角为直角，是数形结合的很好体现。略。
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