勾股定理 勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．
勾股定理及其逆定理是初中几何中的重要内容之一，也是中考热点内容之一。
一、勾股定理和逆定理应用。
例1 已知一直角三角形的斜边长是2，周长是2+，求这个三角形的面积．
分析由斜边长是2，周长是2+，易知两直角边的和是，又由勾股定理可知两直角边的平方和为4，列关于两直角边的方程，只需求出两直角边长的积，即可求得三角形的面积．本题中用到数学解题中常用的“设而不求”的技巧，要熟练掌握．
解：设直角三角形的两直角边为a、b，根据题意列方程得：
即。②式两边同时平方再减去①式得：
2ab=2，∴ ab=． s=．
因此，这个三角形的面积为．
例2 已知：如图，△abc中，d是ab的中点，若ac=12，bc=5，cd=6．5．求证：△abc是直角三角形．
分析欲证△abc是直角三角形，在已知两边ac、bc的情况下求边ab的长，比较困难；但注意到cd是边ab的中线，我们延长cd到e，使de=cd，从而有△bde≌△adc，这样ac、bc、2cd就作为△bce的三边，再用勾股定理的逆定理去判定．
证明：延长cd到e，使de=cd，连结be．
∵ad=bd，cd=ed，adc=∠bde．
∴△adc≌△bde（sas）．
∴be=ac=12．
∴∠a=∠dbe．
∴ac∥be．
在△bce中，∵bc2+be2=52+122=169．
ce2=（2cd）2=（2×6.5）2=169． ∴bc2+be2=ce2．
∴∠ebc=90°． 又∵ac∥be， ∴acb=180°-∠ebc=90°． abc是直角三角形．
练习如图，在正方形abcd中，f为dc的中点，e为bc上一点，且ec=bc，猜想af与ef的位置关系，并说明理由．
二、 构造直角三角形。
例2 如图，水池中离岸边d点1.5米的c处，直立长着一根芦苇，出水部分bc的长是0.5米，把芦苇拉到边，它的顶端b恰好落到d点，并求水池的深度ac.
解析：先将实物模型转化为数学模型，如图2. 由题意可知△acd中，∠acd=90°,在rt△acd中，只知道cd=1.5，这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。
解：如图2，根据勾股定理，ac2+cd2=ad2
设水深ac= x米，那么ad=ab=ac+cb=x+0.5
x2+1.52=（ x+0.5）2
解之得x=2.
故水深为2米。
练习如图：有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了米．
四：勾股定理与折叠 (旋转)
例4 15．有矩形纸片abcd，ab=2，ad=1，将纸片折叠，使顶点a与边cd上的点e重合。
1）如果折痕fg分别与ad、ab交于点f、g，af=，求de的长；
2）如果折痕fg分别与cd、da交于点f、g，△aed的外接圆与直线bc相切，求证折痕fg的长。
练习如图，取一张矩形的纸片进行折叠，具体操作过程如下：
第一步：先把矩形abcd对折，折痕为mn，如图①;
第二步：再把b点叠在折痕mn上，折痕为ae，点b在mn上的对应点为b′，得rt△ab′e，如图②;
第三步：沿eb′线折叠得折痕ef，如图④. 利用展开图③**：
△aef是什么三角形？证明你的结论；
对于任意的矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？ 并证明之。
例5 如图，p是等边三角形abc内一点，pa=2,pb=,pc=4,求△abc的边长。
分析：利用旋转变换，将△bpa绕点b逆时针选择60°，将三条线段集中到同一个三角形中，根据它们的数量关系，由勾股定理可知这是一个直角三角形。
练习如图，△abc为等腰直角三角形，∠bac=90°，e、f是bc上的点，且∠eaf=45°，试**间的关系，并说明理由。
五、勾股定理的实际应用。
例5 如图，a、b两个小集镇在河流cd的同侧，分别到河的距离为ac=10千米，bd=30千米，且cd=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向a、b两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流cd上选择水厂的位置m，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？
例6台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市a的正南方向220千米b处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30方向往c移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响。
1）该城市是否会受到这交台风的影响？请说明理由。
2）若会受台风影响，则台风影响该城市持续时间有多少？
3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？
解：（1）由点a作ad⊥bc于d，则ad就。
为城市a距台风中心的最短距离。
在rt△abd中，∠b=30，ab＝220，∴ad=ab=110.由题意知，当a点距台风。
12－4）20＝160（千米）
将会受到台风影响故该城市会受到这次台风的影响．
2）由题意知，当a点距台风中心不超过60千米时，将会受到台风的影响，则ae＝af＝160．当台风中心从e到f处时，该城市都会受到这次台风的影响。
由勾股定理得
∴ef＝2de＝60.
因为这次台风中心以15千米/时的速度移动，所以这次台风影响该城市的持续时间为。
t小时。3）当台风中心位于d处时，a城市所受这次台风的风力最大，其最大风力为12－＝6.5级．
练习 1 如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10(单位：㎝)在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13㎝， 小孔到图中边ab距离为1㎝，到上盖中与ab相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为h㎝，则h的最小值大约为___精确到个位，参考数据：）
八年级勾股定理专题 含答案
1 在矩形纸片abcd中，ad 4cm，ab 10cm，按图所示方式折叠，使点b与点d重合，折痕为ef，求de的长。2 如图，公路上a，b两点相距25km，c，d为两村庄，da ab于a，cb ab于b，已知da 15km，cb 10km，现在要在公路ab上建一车站e，1 使得c，d两村到e站的距离...
八年级数学勾股定理专题训练
1.如图，已知 在 abc，a 90 d e分别在ab ac上，你能 出cd2 be2 bc2 de2吗？2 如图，已知 在中，求 bc的长。3.如图，已知 于p.求证 4如图1，在四边形abcd中，a b d ab 4，cd 2。求四边形abcd的面积。5.如图，折叠长方形的一边ad，点d落在bc...
八年级数学勾股定理复习
经典题型。例1.如图中，求的长。例2 已知 如图，abc中，c 90 d为ab的中点，e f分别在ac bc上，且de df 求证 ae2 bf2 ef2 例3 如图，两个村庄a b在河cd的同侧，a b两村到河的距离分别为ac 1千米，bd 3千米，cd 3千米 现要在河边cd上建造一水厂，向a ...