知识点一：勾股定理。
1.勾股定理。
2.注意：①勾股定理是揭晓三角形的三边关系的定理。
②应用勾股定理时，要分清哪条边是斜边。
3.证明勾股定理的三种图形方法以及等积法的应用。
4.针对小练：
1）在△abc中，∠c=90°,①a=5,b=12,则c
②若c=10,a∶b=3∶4,则ab
2）直角三角形两条直角边长度分别为3和4，则作边上的高为 .
3）如图，正方形a的面积为16，正方形b的。
面积为9，那么正方形c的面积是 .
4）在rt△abc中，斜边ab=2,则 .
5）一个三角形三个内角之比为1∶2∶1，则其相对的三边平方之比分别为（ )
a.1∶2∶1 b.1∶∶1 c. 1∶4∶1 d.2∶1∶2
6）如图，在一河ab的同侧有两个集镇c、d，现要在河边修一座水厂，向两镇供水，要求使ec=ed,已知d、c到岸ab的距离ad=15km,bc=10km,且ab=25km,求e离a多远。
5.易错警示：
1）应用勾股定理时，直角边和斜边不明确，造成漏解。
例题：已知三角形两边为3和4，如果这个三角形是直角三角形，则第三边长为。
2）对公式“”符号的意义理解错误。
例题：在△abc中，∠a、∠b、∠c所对的边分别是a、b、c，若。
b=90°a=6，b=8，则。
3）在利用勾股定理求解有关问题时，考虑不全面而造成漏解。
例题：在△abc中，ab=15，ac=13，高ad=12.求△abc的周长。
知识点二：勾股定理的逆定理。
1.勾股定理逆定理。
2.注意：①验证一个三角形是不是直角三角形的方法是需要通过计。
算来确定的当时，此。
三角形为直角三角形；否则，此三角形不是直角三角形。
②判断直角三角形的方法有三种：（1）三角形中有一个直角；
（2）三角形中有两边互相垂直；（3）勾股定理的逆定理。
3.勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数。
4.针对小练：
1)△abc中，若a∶b∶c=1∶∶2,则∠a∶∠b∶∠c
2)在△abc中，若ab=,ac=,bc=2,则∠b= .
3)一个三角形三边的比是5∶12∶13且周长为60,则面积为 .
4)若直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边的长为 .
5)在△abc中，三条边a,b,c若满足，则下列说法。
正确的是（ )
a.△abc不是直角三角形 b.∠a+∠b=90°
c.∠a+∠c=90d.∠a=90°
6)下列各组正数作为三角形三边长，能构成直角三角形的是（ ）a+1 ,a+1 ,a+1
7)在四边形abcd中，∠c=90°,ab=13,bc=4,cd=3,ad=12.
ad⊥bd吗？为什么？②求四边形abcd的面积。
5.易错警示：
1）直角边和斜边不明确，造成错解。
例题：一个三角形三边长分别为：，，这个三角形是不是直角三角形？
2）思维不严谨导致判断错误。
例题：已知△abc的三边为a、b、c，且，试判断△abc的形状。
知识点三：勾股定理及其逆定理的应用。
1.勾股定理揭示了直角三角形三边的平方关系，其作用：
已知两边求第三边；
已知直角三角形的一边，确定另外两边的关系；
证明三角形中某些线段的平方关系；
把实际问题转化为直角三角形问题。
2.勾股定理的逆定理实现了数到形的转化，其作用：
判断一个三角形是否为直角三角形；
判断两条线段垂直。
3.针对小练：
1）要登上12米高的建筑物，为了安全起见，要使梯子的底端离建筑物5米，则至少需要米长的梯子。
2）一艘轮船以16km/h速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以12km/h的速度向东南方向航行，它们离开一个半小时后相距 .
3）一个人绕矩形操场两邻边走，而取捷径沿对角线走，省去了矩形长边的距离，则矩形短边与长边的比为。
6）一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体。
纸箱的a点沿纸箱爬到b点，那么它所爬行的最。
短路线的长是。
7）如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一。
只蚂蚁沿外壁爬行，要从a点爬到b点，则最少要。
爬行 cm.
8）有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正**有一根芦苇，它高出水面1尺。如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面。谁的深度和这根芦苇的长度分别是多少？
勾股定理中的两个数学思维：分类讨论和方程思想。
1.分类讨论：分类讨论思想是解题时常用的一种思想方法。如果掌握了这种方法，可以使思维的条理性、缜密性、灵活性得到培养，在解题中才能真正做到不重不漏。
例题1：在△abc中，ab=15，ac=13，高ad=12.试求bc边的长。
例题2：一直角三角形的两边长分别为3和4，求第三边长的平方。
2.方程思想：勾股定理是表示三边之间的关系，只有在两边确定的情形下，才可以直接利用公式求第三边，但有时题目的条件却不能满足这点，这时可以引入未知数，让未知数参与运算，最后通过列方程求解。
例题1：如图，在长方形abcd中，将abc沿。
ac对折至aec位置，ce与ad交于点f。
1）试说明：af=fc；
2）如果ab=3，bc=4，求af的长。
例题2.如图，在rt△abc中，∠c=90°，d是bc上一点，ad=bd，若ab=8，bd=5，试求cd的长。
随堂练习：1.观察下列几组数据：
(1) 8, 15, 17； (2) 7, 12, 15； (3)6, 8, 10；(4) 7, 24, 25，其中不能作为直角三角形的三边长的是第( )组。
a. （1） b. （2） c. （3） d.（4）
2.如图，等腰三角形中，ab=ac=13，bc=10，则高ad的长为 （
a．5 b. 10 c . 12 d.
3.如图，△abc中ad⊥bc于d，ab=3，bd=2，dc=1，则ac等于 （
a．6 bcd．4
4.如图，一棵大树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，树的顶端落在离树干3米远处，这棵大树在折断前的高度为（ ）
a．5米 b．7米 c．8米 d．9米。
第2题图第3题图第4题图。
5.直角三角形两条直角边长分别为5,12,则斜边上的高为( )
a. 6 b. c. 8 d.
6.如图，在水塔o的东北方向32m处有一抽水站a,在水塔的东南。
方向24m处有一建筑工地b，在ab间建一条。
直水管，则水管的长为（ ）
a.40cm b.45cm c.50cm d.56cm
7.已知△abc中，∠b＝90°，ac＝7cm，bc＝4cm，则ab=__
8.测得一个三角形花坛的三边长分别为6cm，8cm，10cm，则这个。
花坛的面积是 .
9.若直角三角形两直角边之比为3∶4，斜边长为20，则它的面积。
为。10.如图所示，图中所有三角形是直角三角形， 所有四边形是正方有形， ,则= .
11.如图所示，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm），经过计算两圆孔中心a和b的距离为 。
第10题图第11题图
12.如图，折叠长方形一边ad，点d落在bc边的点f处，bc=10cm，ab=8cm，求：(1)fc的长；(2)ef的长。
八年级数学勾股定理专题训练
1.如图，已知 在 abc，a 90 d e分别在ab ac上，你能 出cd2 be2 bc2 de2吗？2 如图，已知 在中，求 bc的长。3.如图，已知 于p.求证 4如图1，在四边形abcd中，a b d ab 4，cd 2。求四边形abcd的面积。5.如图，折叠长方形的一边ad，点d落在bc...
八年级数学勾股定理逆定理 一
勾股定理的逆定理 一 班级姓名。设计人 张言超审核人 吕莉日期编号。一 自学导航 认真学习课本p73 p75页的内容。学习目标 会应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形。一 课前学习。1 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a b c满足那么这个三角形是。2 有关概念 1叫做互逆命题。如...
八年级数学培优专题讲解《勾股定理》
培优 技法透析 勾股定理是几何中重要的定理之一，它是把直角三角形的 形 与三边关系这一 数 结合起来，是数形结合思想方法的典范 1 勾股定理反逆定理的应用。主要用于计算和证明等 2 勾股数的推算公式。若任取两个正整数m n m n 那么m2 n2，2mn，m2 n2是一组勾股数 如果k是大于1的奇数...