八年级下期末复习5
如图1，四边形abcd为正方形，e在cd上，∠dae的平分线交cd于f，bg⊥af于g，交ae于h．
1）如图1，∠dea=60°，求证：ah=df；
2）如图2，e是线段cd上（不与c、d重合）任一点，请问：ah与df有何数量关系并证明你的结论；
3）如图3，e是线段dc延长线上一点，若f是△ade中与∠dae相邻的外角平分线与cd的交点，其它条件不变，请判断ah与df的数量关系（画图，直接写出结论，不需证明）．
证明：（1）延长bg交ad于点s
af是has的角的平分线，bs⊥af
∠hag=∠sag，∠hga=sga=90°
又∵ag=ag
△agh≌△ags
ah=as，ab∥cd
∠afd=∠bag，∠bag+∠abs=∠abs+∠asb=90°
∠bag=∠asb
∠asb=∠afd
又∵∠bas=∠d=90°，ab=ad
△abs≌△daf
df=asdf=ah．（2）df=ah．
同理可证df=ah．
3）df=ah
如图，在△abc中，点o是ac边上的一个动点（点o不与a、c两点重合），过点o作直线mn∥bc，直线mn与∠bca的平分线相交于点e，与∠dca（△abc的外角）的平分线相交于点f．
1）oe与of相等吗？为什么？
2）**：当点o运动到何处时，四边形aecf是矩形？并证明你的结论．
3）在（2）中，当∠acb等于多少时，四边形aecf为正方形．（不要求说理由）
解：（1）如图所示：作eg⊥bc，ej⊥ac，fk⊥ac，fh⊥bf，因为直线ec，cf分别平分∠acb与∠acd，所以eg=ej，fk=fh，在△ejo与△fko中，∠aoe=∠con ∠ejo=∠fko ej=fk ，所以△ejo≌△fko，即oe=of（2）当oa=oc，oe=of时，四边形aecf是矩形，证明：
∵oa=oc，oe=of，四边形aecf为平行四边形，又∵直线mn与∠bca的平分线相交于点e，与∠dca（△abc的外角）的平分线相交于点f．
∠ace=∠bce，∠acf=∠fcd，由∠bce+∠ace+∠acf+∠fcd=180°，∠eca+∠acf=90°，即∠ecf=90°，四边形aecf为矩形；
3）由（2）可知，四边形aecf是矩形，要使其为正方形，再加上对角线垂直即可，即∠acb=90°
1）如图所示，bd，ce分别是△abc的外角平分线，过点a作af⊥bd，ag⊥ce，垂足分别为f，g，连接fg，延长af，ag，与直线bc分别交于点m、n，那么线段fg与△abc的周长之间存在的数量关系是什么？
即：fg=（ab+bc+ac）
直接写出结果即可）
2）如图，若bd，ce分别是△abc的内角平分线；其他条件不变，线段fg与△abc三边之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．
3）如图，若bd为△abc的内角平分线，ce为△abc的外角平分线，其他条件不变，线段fg与△abc三边又有怎样的数量关系？直接写出你的猜想即可．不需要证明．答：线段fg与△abc三边之间数量关系是。
解如图。1）fg=1 /2 （ab+bc+ac）；（2）答：fg=1 /2 （ab+ac-bc）；
证明：延长ag交bc于n，延长af交bc于m
af⊥bd，ag⊥ce，∠agc=∠cgn=90°，∠afb=∠bfm=90°
在rt△agc和rt△cgn中。
agc=∠cgn=90°，cg=cg，∠acg=∠ncg
rt△agc≌rt△cgn
ac=cn，ag=ng
同理可证：af=fm，ab=bm．
gf是△amn的中位线。
gf=1/ 2 mn．
ab+ac=mb+cn=bn+mn+cm+mn，bc=bn+mn+cm
ab+ac-bc=mn
gf=1 /2 mn=1 /2 （ab+ac-bc）；
3）线段fg与△abc三边之间数量关系是：gf=1/ 2 （ac+bc-ab）．
已知：△abc中，以ac、bc为边分别向形外作等边三角形acd和bce，m为cd中点，n为ce中点，p为ab中点．
1）如图1，当∠acb=120°时，∠mpn的度数为。
2）如图2，当∠acb=α（0°＜α180°）时，∠mpn的度数是否变化？给出你的证明．
解：（1）∠mpn的度数为 60°；
2）∠mpn的度数不变，仍是60°，理由如下：
证明：取ac、bc的中点分别为f，g，连接mf、fp、pg、gn，mf是等边三角形acd的中位线，mf=1 /2 ad=1 /2 ac，mf∥ad，pg是△abc的中位线，pg=1/ 2 ac，pg∥ac，mf=pg，同理：fp=cg，四边形cfpg是平行四边形，∠cfp=∠cgp，∠mfc+∠cfp=∠cgn+∠cgp，即∠mfp=∠pgn，△mfp≌△pgn（sas），∠fmp=∠gpn，pg∥ac，∠1=∠2，在△mfp中，∠mfc+∠cfp+∠fmp+∠fpm=180°，又∵∠mfc=60°，∠cfp+∠fmp+∠fpm=120°，∠cfp=∠1+∠3，∠1+∠3+∠fmp+∠fpm=120°，∠1=∠2，∠fmp=∠gpn，∠2+∠3+∠gpn+∠fpm=120°，又∵∠3+∠fpm+∠mpn+∠gpn+∠2=180°，∠mpn=60°．
如图，在平面直角坐标系中，a是反比例函数y=k/x
x＞0）图象上一点，作ab⊥x轴于b点，ac⊥y轴于c点，得正方形obac的面积为16．
1） 求a点的坐标及反比例函数的解析式；．
2）点p（m，16/3 ）是第一象限内双曲线上一点，请问：是否存在一条过p点的直线l与y轴正半轴交于d点，使得bd⊥pc？若存在，请求出直线l的解析式；若不存在，请说明理由；
3）连bc，将直线bc沿x轴平移，交y轴正半轴于d，交x轴正半轴于e点（如图所示），dq⊥y轴交双曲线于q点，qf⊥x轴于f点，交de于h，m是eh的中点，连接qm、om．下列结论：①qm+om的值不变；②qm/om
的值不变．可以证明，其中有且只有一个是正确的，请你作出正确的选择并求值．
解：（1）∵正方形obac的面积为16，a（4，4）；（2分）
将a点代入反比例函数y=k /x （x＞0）中，得反比例函数的解析式：y=16/ x ；（2）将y=16/ 3 代入y=16 /x 得：p(3，16 /3 )；
设存在点d，延长pc交x轴于e点；
∠coe=∠dob=90°，∠eco=∠dcp，∠ceo=∠odb；
而oc=ob，△coe≌△bod，∴oe=od；
而c（0，4），p(3，16 /3 )，直线cp的解析式为y=4 /9 x+4；
当y=0时，x=-9，e（-9，0），故d（0，9），直线l的解析式为：y=-11/ 9 x+9
3）选②，值为1．
连fm，de∥bc，oe=od=qf，而m是rt△fhe的斜边中点，em=hm=fm；
∠oeh=∠qfm=45°，△qmf≌△ome；
qm=om；
qm om =1．
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