1、 如图，以△abc的三边为边在bc的同侧分别作三个等边三角形，即△abd、bce、△acf，请回答下列问题，并说明理由．
1）四边形adef是什么四边形？
2）当△abc满足什么条件时，四边形adef是矩形？
3）当△abc满足什么条件时，以a、d、e、f为顶点的四边形不存在．
1）在△abc和△dbe中。
ab=adabc=∠ebc-∠eab，∠dbe=∠dba-∠eba
因为∠ebc=∠dbe=60°
所以∠abc=∠dbe
bc=be因此△abc≌△dbe，de=ac。
acf是等边三角形，所以af=ac=de
在△abc和△fec中。
ac=fcacb=∠ecb-∠eca
fce=∠fca-∠eca
因为∠ecb=∠fca=60°
所以∠acb=∠fce
bc=ec因此△abc≌△fec，ef=ab
因为△abd是等边三角形，所以ad=ab=ef
四边形adfe两组对边分别相等，是平行四边形。
2）如果平行四边形adef是矩形，则∠daf=90°
因为∠daf=360°-∠dab-∠fac-∠bac=240°-∠bac
所以∠bac=150°当△abc中∠bac=150°，四边形adef是矩形。
3）∠daf=240°-∠bac
当∠bac=60°时，∠daf=180°
d、a、f在一条直线上，此时四边形adef不存在。
2.如图，梯形abcd中，ab∥cd，ad＝bc，ac⊥bd于e，cf是梯形的高，试说明cf＝(ab＋cd)，3.已知：
梯形abcd中，ab∥cd，e为da的中点，且bc=dc+ab。
求证：be⊥ec。
延长ce交ba的延长线于f，则∠dce=∠afe，∠cde=∠fae，de=ea
⊿dce≌⊿afe，be=fe，af=dc，ab+dc=bc
ab+af=bf=bc
又∵de=fe
be⊥cf（等腰三角形三线合一定理）
4、已知：p是正方形abcd对角线bd上一点，pe⊥dc，pf⊥bc，e、f分别为垂足，求证：ap=ef.
解：连接pc
四边形abcd是正方形，∴ad=dc，∠adp=∠cdp，pd=pd，∴△apd≌△cpd，（4分）∴ap=cp，（5分）
四边形abcd是正方形，∴∠dcb=90°，pe⊥dc，pf⊥bc，∴四边形pfce是矩形，（8分）
pc=ef，（9分）∵∠dcb=90°，在rt△cef中，ef2=ce2+cf2=32+42=25，ef=5，（11分）∴ap=cp=ef=5．（12分）
5.如图，正方形abcd的对角线ac、bd相交于点o
若e为ac上一点，过a作ag⊥eb于g，ag、bd交于f，求证：oe=of
若点e在ac的延长线上，ag⊥eb交eb的延长线于g，ag的延长线交bd于点f，其他条件不变，oe=of还成立吗？若成立，请给予证明，若不成立请说明理由。
1. 证明：因为正方形abcd的对角线ac,bd相交与o
ac⊥bd，∠boc=90°，oa=ob
e是ac上一点，ag⊥eb
∠aeg+∠eag=90°，∠oaf+∠afo=90°
afo=∠oeb
beo+∠ebo=90°，∴oaf=∠obe
rt△aeg≌rt△beo
of=oe6、如图，已知e是正方形abcd的对角线bd上一点， 且be＝bc，p是ce上任意一点，pf⊥bd于f，pg⊥bc于g。
求证： pf+pg＝bd
连接ac交bd于o
有o为bd中点，且oc垂直bd
s△ceb=s△peb+s△pbc，bc=be
s△ceb=be*oc/2=bd*bc/4，s△peb+s△pbc=pf*be/2+pg*bc/2=（pg+pf）*bc/2
所以：bd*bc/4=（pg+pf）*bc/2
pf+pg=(1/2)bd
7．如图，在梯形abcd中，ad∥bc，∠b＝90°，ab＝14cm，ad＝15cm，bc＝21cm,点m从a点开始，沿ad边向d运动，速度为1厘米／秒，点n从点c开始沿cb边向点b运动，速度为2厘米／秒，设四边形mncd的面积为s．
1）写出面积s与时间t之间的函数关系式；
2）当t为何值时，四边形mncd是平行四边形？
3）当t为何值时，四边形mncd是等腰梯形？
8．图1，操作：把正方形cgef的对角线。
如ce放在正方形abcd的边bc的延长线上（cg＞bc），取线段ae的中点m。
1）（10分）**：线段md、mf的关系，并加以证明。
dm的延长线交ce于点n，且ad＝ne；
1 将正方形cgef绕点c逆时针旋转45°（如图2），其他条件不变；③在②的条件下且cf＝2ad。
2）将正方形cgef绕点c旋转任意角度后。
如图3），其他条件不变。**：线段md、
mf的关系，并加以证明。
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