用平移、旋转和轴对称研究几何问题。
学习旋转要解决的问题：
分三个层次①直接的旋转作图或者旋转关系的叙述；②增加干扰线段，隐含部分已知，主动发现旋转关系，并证明某些结论③需要添加辅助线，完善图形创造情境，进行证明。
要重视的问题：共顶点的等腰三角形的出现是实现旋转的情境；
一、平移、旋转和轴对称在几何题中的应用。
1．已知：△abc与△ade都是等腰直角三角形。求证：bd⊥ec.
2．如图，已知△abc≌△ade，∠b＝45°，∠c＝20°，∠eab＝30°，则∠d＝ °若ac、de交于点f，则∠efc
3．如图，△abc中，∠bac=120，以bc为边向形外作等边△bcd，把△abd绕着点d按顺时针方向旋转60后到△ecd的位置。若ab=3，ac=2，求∠bad的度数和ad的长。
4．已知：如图，a、b、c在同一直线上，且与都是等边三角形，求证：.
拓展如图1，点c为线段ab上一点，△acm， △cbn是等边三角形，直线an、mc交于点e，bm、cn交于点f．
1）求证：an=bm；
2）求证： △cef为等边三角形；
3）将△acm绕点c按逆时针方向旋转90，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）．
5．如图，已知正方形abcd和bc边上一点e，将直角三角形abe绕点b逆时针旋转90o，再沿bc方向平移，平移距离是线段bc的长度，请画出图形。并回答：旋转后三角形的斜边与ae有什么关系？
为什么？
二、常见的利用平移、旋转和轴对称变换作的辅助线。
几何问题中的辅助线是对同学们几何思维能力的考验，通过分析找到辅助线的添加方法，能够使几何问题简化，有助于问题的解决。同时，通过研究平面几何的辅助线的添加方法，能够锻炼同学们分类研究问题的能力。平面几何的辅助线有一定的规律，而这些规律大多与几何图形的三种变换有关，下面我们就来研究常见辅助线与几何图形变换的关系。
1．（三角形的倍长中线）已知：在△abc中，ab=ac，cd是中线，延长ab到e，使be=ab，连结ce.求证：cd=ce.
拓展1 如图1，已知△abc中，ad是△abc的中线，ab=8，ac=6，求ad的取值范围．
提示：延长ad至a＇，使a＇d＝ad，连结ba＇．根据“sas”易证△a＇bd≌△acd，得ac＝a＇b．这样将ac转移到△a＇ba中，根据三角形三边关系定理可解．
拓展2 如图2，已知△abc中，ab＝ac，d在ab上，e是ac延长线上一点，且bd＝ce，de与bc交于点f．求证：df=ef．
提示：此题辅助线作法较多，如：
作dg∥ae交bc于g；
作eh∥ba交bc的延长线于h；
再通过证三角形全等得df＝ef．
2．（三角形的翻折角平分线）已知：在中，，ad是的平分线。 求证：.
拓展1 如图，已知：在中，，ad是的平分线，p是ad上任意一点。 求证：.
拓展2 已知：δabc中，∠a=，ad是bc边上的高，be是角平分线，且交ad于p.求证：ae=ap.
3．（梯形的线段倍长）已知：梯形abcd中，ad//bc，e是dc的中点，ae平分∠bad．求证：ab=ad+bc．
拓展1 如图，已知：在梯形abcd中，ab//cd，∠adc=90，f为bc的中点，∠afc=3∠baf.求证：cd=cf.
拓展2 已知：直角梯形abcd中，ab//dc，ab⊥ad，f为bc的中点，cf=dc．求证：∠afc=3∠baf．
拓展3 已知：如图5，在梯形中，、n分别是、的中点。求证：。
4．（正方形中的三角形旋转）已知：如图e是正方形abcd边bc上任意一点，af平分角ead交cd于f，试说明be+df=ae.
拓展1如图，已知：在正方形abcd中，e、f分别是bc、cd上的点，若有。
求：的度数。
拓展2如图，已知：在正方形abcd中，e、f分别是bc、cd上的点，若有。
求证：.拓展3如图，正方形abcd边长为1，ab、ad上各有一点p、q，若△apq的周长为2．求∠pcq的大小．
拓展4如图，在正方形abcd中，e、f分别为bc、dc上的点，且∠eaf=45，ah⊥ef．求证：ah=ab．
拓展5如图，正方形abcd被两条与边平行的线段ef、gh分割成4个小矩形，p是ef与gh的交点，若矩形pfch的面积恰是矩形agpe面积的2倍．试确定∠haf的大小，写出推导的过程．
5．（三角形的辅助线旋转）已知，如图在△abc中，ab=ac，∠bac=90°，∠dae=45°，bd=2，ce=3 .求证：de的长。
拓展1 如图，在等腰三角形abc中，p是三角形内的一点，且∠apb=∠apc．求证pb=pc．
拓展2 △abc中，ab=ac，d是三角形内一点，若∠adb＞∠adc．求证∠dbc＞∠dcb．
分析将△abc以a为中心逆时针旋转一角度∠bac，到△ace的位置．连de，由∠adb＞∠adc，得 ∠aec＞∠adc．又 ∠ade=∠aed，相减，得 ∠dec＞∠edc．
∴ cd＞ce．
即 cd＞bd，从而∠dbc＞∠dcb．
拓展3 若p为正方形abcd内一点，pa∶pb∶pc=1∶2∶3．试证∠apb=135°．
分析利用正方形的特点设法经过旋转使ap、pb、pc相对集中，为简单起见不妨设pa=1， pb=2，pc=3．绕b点顺时针旋转90，使△cbp到△abe的位置，这时be=2，ae=3，∠pbe=90→pe=，∠bpe=45。又。
∴ ∠ape=90°．
于是 ∠apb=135°．
拓展4 在等边三角形内有一点p．连接p与各顶点的三条线段的长为.求正三角形的边长。（答案：）
分析将△cpb旋转到△ap`b，连接pp`，延长bp，过a作ad⊥bd.易知△app`是直角三角形，因为∠bpp`=60，所以∠apd=30，则ad=2，dp=.
6．（轴对称变换（翻折问题））
1）如图，将矩形abcd沿着直线bd折叠，使点c落在c`处，bc`交ad于e，ad=8，ab=4.求△bed的面积．
2）如图，将边长为12厘米的正方形abcd折叠，使得点a落在边cd上的e点，然后压平得折痕fg．若fg的长为13厘米。求线段ce的长．
3）如图，点m、n为矩形abcd一组对边的中点，将矩形的一角向内折叠，使点b落在直线mn上，得到落点b`和折痕ae，延长eb`交ad于f.判断△aef是什么三角形，并说明理由．
7．（梯形的平移辅助线）
1） 已知：如图2，在梯形abcd中，．求证：．
已知：如图3，在梯形中，．求证：梯形是等腰梯形．
3）已知：如图7，在梯形中，、n分别是、ab的中点．求证：．
8．已知：如图1，点p**段ab上（ap＞pb），c、d、e分别是ap、pb、ab的中点，正方形cpfg和正方形pdhk在直线ab同侧．
1）求证：△ehg是等腰直角三角形；
2）若将图1中的射线pb连同正方形pdhk绕点p顺时针旋转一个角度后，其它已知条件不变，如图2，判断△ehg还是等腰直角三角形吗？请说明理由．
9. 如图10-1，四边形abcd是正方形，g是cd边上的一个动点(点g与c、d不重合)，以cg为一边在正方形abcd外作正方形cefg，连结bg，de．我们**下列图中线段bg、线段de的长度关系及所在直线的位置关系：
1）①请直接写出图10-1中线段bg、线段de的数量关系及所在直线的位置关系；
将图10-1中的正方形cefg绕着点c按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图10-2、如图10-3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图10-2证明你的判断．
2）将原题中正方形改为矩形（如图10-4～10-6），且 ，试判断（1）①中得到的结论哪个成立，哪个不成立？并写出你的判断，不必证明。
3）在图10-5中，连结、，且，则。
10．如图，在边长为8的正方形abcd中，e是bc边上任意一点，把正方形沿着gh折叠，使a与e重合，d与d’重合，ed’与边cd交于点f。
1）当点e为bc边中点时，求⊿ecf的周长？连结ae，af，求∠eaf？
2）当点e在bc边上运动时，（1）中的结论变化吗？试说明理由。
5．几何模型应用：
模型：条件如下左图，、是直线同旁的两个定点．问题：在直线上确定一点，使的值最小．
方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，则的值最小（不必证明）．
1） 如图1，正方形的边长为2，为的中点，是上一动点．连结，由正方形对称性可知，与关于直线对称．连结交于，则的最小值是。
2） 如图2，的半径为2，点在上，，，是上一动点，则的最小值是。
3）如图3，，是内一点，，分别是上。
的动点，则周长的最小值是。
1、 如图所示：在等腰梯形abcd中，，请你把它分成四个全等的四边形。
2、 四边形abcd中，，ab＝ad、bc＝8、cd＝6、
求这个四边形的面积。
3、 点e在正方形abcd的bc边上，将旋转到的位置，请你说明：
1） 旋转中心，旋转角度和旋转方向。
2） 猜想ae与cf的位置关系，并说明理由。
4、 如图所示：有a、b两家工厂被一条河流隔开，现准备在河上修建一座桥，请问这座桥应该怎样修建才能使两厂之间的路程最短？而且桥的跨度最小（假定河的两岸是平行的），请你画出图形并保留作图痕迹。
5、 如上图点c**段ab上，分别以ac、bc为边在ab的同侧作等边和等边，连接ad、be相交于f，1）、试说明。
2）、求的度数。
3)、猜想mn与ab之间的关系并证明你的结论。
6、已知六边形abcdef的六个内角均为， ，求这个六边形的周长。
7，有边长为的三角形若干个，请你用它做材料来拼成四边形，问可以有多少种不同形状的四边形，并画图进行说明。
8、在中延长ab到e使be=ab,连结ce，在ce上取一点m，使cm=cd,连结dm并延长交直线ae于f,试说明bd=bf.
9、在中，ad=2dc,m是bc的中点，连结am和dm，试确定am和dm的关系？并说明你的理由？
八年级几何题
八年级23班培优 2 1 如图，给出四个等式 ae ad ab ac ob oc b c，现选取其中的三个，以两个作为已知条件，另一个作为求证结论。请你写出一个正确的命题，并加以证明 3 已知，如图 abc中，abc 45 ad bc于d，点e在ad上，且de cd 求证 be ac 4 如图，设p...
八年级上册几何数学题
1 如左图 ab cd，ad cb，e，f是bd上两点，be df，若 aeb 100 dbc 30 则 bcf 2 如右图 ab ac，bac 90 延长ba到e，连结ce，bf ce于f交ac于d，若ae 2，be 7，则dc 3 已知 如图 b在ac上，bdc bea，dn cn em am。...
八年级几何提高题
1 如图，以 abc的三边为边在bc的同侧分别作三个等边三角形，即 abd bce acf，请回答下列问题，并说明理由 1 四边形adef是什么四边形？2 当 abc满足什么条件时，四边形adef是矩形？3 当 abc满足什么条件时，以a d e f为顶点的四边形不存在 1 在 abc和 dbe中。...