证明方法为：解：设给定的正方形的边长为a，则其周长为4a,面积为a2,周长扩大两倍后为8a,则其边长应为 2a,此时面积应为 4a2，它不是已知给定的正方形的面积的2倍。
所以不存在这样的正方形。或是先考虑面积扩大为原来的两倍为2a2 ，则边长应为，此时周长应为4，不是4a的两倍，无论从哪个角度考虑，都不存在这样的正方形。
问题（2）任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍？
教学策略：由问题一的研究学生能够顺理成章的从两个角度来进行思考，一个是从特殊到一般的思想，一个是直接对一般情况进行证明的思想，但是较问题（1）直接证明难度较大，所以引导学生先从特殊情况入手，得到一个猜想后，再进行一般情况的证明会更好一些。这样在具体问题的解决过程中，会给学生一些启示，有助于学生一般情况下的证明思路的形成。
）如果已知矩形的长和宽分别为2和1,结论会怎样呢？你是怎么做的？和同伴交流。
总结如下：有三种思路可以选择：①先固定所求矩形的周长， 设另一个矩形的长为x，将问题化为方程x(6－x)=4是否有解的问题。
②先固定所求矩形的面积， 设另一个矩形的长为x，将问题转化为方程x+4/x=6是否有解的问题。③也可以根据已知矩形的长和宽分别为2和1,那么其周长和面积分别为6和2,所求矩形的周长和面积同时扩大2倍后应分别为12和4,设其长和宽分别为x和y,则得方程组x+y=6 ，xy=4然后讨论它的解是否符合题意。
然后引导学生再通过几组特例的研究，结果都发现存在这样的矩形，于是得到一个猜想。从而将**活动推向第二环节拓展思维，证明猜想。将学生的思维逐渐推向高潮。
第二环节：拓展思维，证明猜想；
当已知矩形的长和宽分别为n和m时，是否仍然有相同的结论？
解：当已知矩形的长和宽分别为n和m时，那么其周长和面积分别为2(m+n),和mn,所求的矩形周长和面积为4(m+n)和2mn.设所求矩形的长为x,那么宽为 2(m+n)－x,根据题意，得x［2(m+n)－x]=2mn.
整理得－2(m+n)x+2mn=0解得。
经检验，符合题意，所以存在这样一个矩形。
于是得到结论：任意给定一个矩形，一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍。
引导学生继续将问题向纵深拓展：既然存在倍增关系的矩形，那么是否存在减半的矩形呢？
第三环节：问题拓广，自主**；
由学生提出问题（3），任意给定一个矩形，是否一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？
教学策略：此问题提出后，学生也会有两种解决问题的思想，一种就是顺承上面问题的解决思路完成此题的**过程，另一种也可能会有小明一样的想法。若是学生中未出现小明的思路，则让学生阅读课本，然后判断小明的想法是否正确。
此问题要求学生在自主**的基础上，小组合作细化完成解答过程。)
学生通过如上问的**：发现当已知矩形的长和宽为2和1,3和1,4和1,5和1时，都不存在这样的矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半。
于是就可能会得到一个猜想，一定不存在这样减半的矩形。
于是进行一般情况下的对猜想的证明。设已知矩形的长和宽分别为n,m,所求矩形的长为x，那么有x〔（n+m）－x〕=mn.得到一元二次方程的根的判别式。
而此时不总是大于0的，也不总是小于0的，于是此题的结论不是一定不存在，而是有选择性的存在，当≥0，这样的矩形存在，而当≤0时这样的矩形不存在。
并请几个学生举几个存在的特例，让学生更直观的感受一下这个结论。
第四环节：总结反思，方法提炼；
1）本节课的问题解决综合运用了所学知识，体会知识之间的内在联系。（2）本节课学习的数学方法：猜想、证明、拓广、感受由特殊到一般，数形结合的思想方法，体会证明的必要性。
（3）一个几何存在性问题，可以转化为方程是否有解的问题，两种列方程的思路源于优先“固定”所求矩形的周长或优先“固定”所求矩形的面积，同时也让学生感受到对同一个问题存在不同的解决方法，有助于开阔学生的视野。
第五环节：布置作业，巩固所学；
页1,2,3.
2、写篇小**，把课题学习探索的过程和探索得到的结果及你的感受体验整。
理成数学小**。
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