第二十八章圆。
28.1圆的概念及性质。
一、教学设计思想。
圆是初中几何中重要的内容之一。本节通过第一课时建立圆的概念，认识圆的轴对称性与中心对称性。讲解时将观察与思考、操作与实践等活动贯穿于教学全过程，使学生积累一定的数学活动经验。
第二课时加深学生对弦、弧之间关系的认识，掌握垂径定理及其逆定理。教学时先让学生动手操作来发现结论，再通过推理的方式说明结论的正确性。
数学源于生活，又服务于生活，最终要解决生活中的问题。利用现代多**帮助学生理解和学习数学，探索与分析，讨论与归纳等数学活动是学习的主要方式。
二、教学目标。
知识与技能：
1．能在图形中准确识别圆、圆心、半径、直径、圆弧、半圆、等圆、等弧等；
2．认识圆的对称性，知道圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；
3．能说出等弦、等弧之间的关系，能灵活运用垂径定理及逆定理进行有关计算和证明。
过程与方法：
1．经历抽象和建立圆的概念、**圆的对称性及相关性质的过程，熟记圆及有关概念；
2．通过折叠、旋转的动手实验，多观察、探索、发现圆中圆心、弧、弦之间的关系，体会研究几何图形的各种方法；
3．利用圆的对称性通过折叠来发现垂径定理，充分体验探索的过程。
情感态度价值观：
体会“从一般到特殊”的数学思想方法及在解决问题的过程中与他人合作的重要性。
三、教学重难点。
重点：（1）揭示与圆有关的本质属性；（2）垂径定理探索及其应用。
难点：垂径定理探索及其应用。
教学过程设计。
第一课时。一、观察与思考。
观察汽车和皮带转动轮的**或**。
提问：车轮是什么形状的？
生：圆形（问题简单，一起回答）
教师又问：“为什么车轮要做成圆形呢？难道不可以做成别的形状，比方说三角、四边形等？”
生：“不能！”“它们无法滚动！”
出示小人骑不同轮子小车的课件。
师：那我们这样吧，把轮子作成椭圆的，可不可以，同时在黑板上画一椭圆。
生：不行，这样一来，车子前进时，就会一忽儿高，一忽儿低。
教师再进一步启发：为什么做成圆形就不会一下高，一下低呢？
学生思考，同桌讨论，并回答：
因为车轮上的任何一点到轴心的距离都相等的。
二、大家谈谈。
同学们知道怎样画出一个圆么？你都有哪些方法。
学生畅所欲言，然后老师动画演示画圆的过程，总结圆定义并板书。
平面上到定点o的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，定点o叫做圆心，线段oa叫做圆的半径。
以o为圆心的圆，记做⊙o，读作：圆o。
几个概念：1．弦和直径．
利用上述图形，让学生任意连结圆上两点，就得到一条线段．指出：连结圆上任意两点的线段叫做弦．如线段cd，ab，ef，df都叫做⊙o的弦．（如图2）
进一步指出：图中弦ab经过圆心o，我们把经过圆心的弦叫做直径．最后让学生观察，得出：直径等于半径的2倍．
2．弧．继续观察图2，发现，连结圆上任意两个点可以得到一条弦。同时，这两个点还将圆分成两部分，我们把每一部分叫做圆弧，即：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
用符号“⌒”表示，如以c、d为端点的弧，记做。
继续引导学生观察会进一步发现，圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧我们把它叫做半圆；大于半圆的弧叫做优弧，如图中的弧，等，小于半圆的弧叫做劣弧。如图中的，等。
3．等圆．能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆．（用投影或电脑演示圆重合的过程，图3）
4．等弧．电脑或投影演示两段弧重合的过程，指出：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．
概念辨析：1．直径是弦，弦是直径．这句话正确吗？（学生口答并说明理由）
教师强调：直径是弦，但在一般情况下弦不是直径，只有在弦经过圆心时，这弦才叫做直径．
2．半圆是弧吗？弧是不是半圆？（学生口答，并说明理由）
教师强调：半圆是弧，但在一般情况下弧不是半圆，只有直径的两个端点分圆成的两条弧才是半圆．
3．长度相等的两条弧是等弧吗？为什么？（学生口答）
教师强调：长度相等的弧不一定是等弧，等弧必须是在同圆或等圆中的弧．（教师用两根长度相等的铁丝，变成弧度不同的两条弧加以比较，此难点很容易被突破）
三、一起**。
1．让学生在一张半透明的纸上以o 为圆心画一个圆，将这张纸片沿过点o的直线对折，你发现了什么？
2．将一个圆绕圆心旋转180°后，是否与原图形重合？这能说明什么事实？
学生活动：动手操作，探索圆的对称性。
结论：圆是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心。
四、练习。教材p3—p4 练习1，2
五、小结。这节课我们学习了哪些主要概念？知道了圆的什么性质？
在学生回答的基础上，教师强调：
本节课学习了圆的有关概念．在这些概念中，要特别注意“直径和弦”、“弧和半圆”，以及“同圆、等圆和同心圆”这些概念的区别和联系．
另外还要注意，等圆和等弧的概念，是建立在“能够完全重合”这一前提条件下的，它将作为今后判断两圆或两弧相等的依据．
第二课时。一、引入新课。
上节课我们一起认识了圆及圆的有关概念，我们做如下练习。
指出图中所有的弦和弧：
这节课我们继续认识圆中的弦与弧，**它们之间的关系。
二、观察与思考。
让学生做如下操作：
在两张半透明的纸上，分别画出半径相等的⊙o1，⊙o2及相等的两条弦ab，cd，，把两张纸叠放在一起，使⊙o1与⊙o2重合，固定圆心，将一张纸绕圆心旋转适当角度，使弦ab和弦cd重合。
回答：与是什么关系？
思考：（1）在等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的弦相等吗？
2）在同圆中，相等的弦所对的弧相等吗？等弧所对的弦呢？
由此你能得出什么结论？
学生通过动手发现弦、弧之间的关系：
在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；相等的弦所对的优弧和劣弧分别相等。
三、一起**。
1）在纸上画出一个圆，并画出任意一条直径及与该直径垂直的一条弦；
2）将⊙o沿cd所在的直线对折，哪些线段重合？哪些弧重合？由此你得出什么结论？
学生活动：分成小组动手操作，总结得出的结论，并尽力证明。
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
四、大家谈谈。
如图，⊙o的直径cd交弦ab（不是直径）与点e，ae=be。
1．你认为cd与ab垂直吗？为什么？
2．你认为分别具有什么样的关系？和同学说说你的结论和理由。
学生活动：小组讨论，总结性质。
结论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
五、巩固练习。
教材p6练习1，2
六、小结。这节课你的收获什么？你对弦与弧都有了哪些认识？
28.2过三点的圆。
教学目标。1．使学生理解“不在同一直线上的三点确定一个圆”的结论，掌握过不在同一直线上的三个点作圆的方法；
2．使学生理解三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念；
3．通过定理的教学，培养学生通过动手实践发现问题的能力．
教学重点和难点。
定理“不在同一直线上的三个点确定一个圆”是重点；而过不在同一直线上的三点作圆的方法是难点．
教学过程设计。
一、类比联想，提出问题。
1．提问：确定一条直线的条件是什么？学生回答：两点确定一条直线．
2．我们知道，两点确定一条直线，那么，对于圆来讲，是否也存在由几点确定一个圆的问题呢？提出问题，让学生思考，并进一步讨论：
1)经过一个点a，是否可以作圆？如果能作，可以作几个？
学生讨论回答后，请一名学生上黑板作图(图1)，并得出：经过一个点a作圆很容易，只要以点a外的任意一点为圆心，以这一点与点a的距离为半径就可以作出，这样的圆有无数多个．
2)经过两个点a，b如何作圆呢？能作几个？
同样，在学生讨论回答的基础上，再让一名学生上黑板作图，并得出：经过两个点a，b作圆，只要以与点a，b距离相等的点为圆心，即以线段ab的垂直平分线上任意一点为圆心，以这一点与点a或点b的距离为半径就可以作出，这样的圆也有无数多个。(图2)
二、动手实践，发现新知。
下面来研究，经过三个已知点作圆又会怎么样呢？
仍然让学生讨论，自己动手作图，这时，学生会发现：由于两点确定一条直线，因此三个点就有在同一直线上的三点和不在同一直线上的三个点两种情况．
1．作圆，使它经过不在同一直线上的三个已知点．
例1 已知：不在同一直线上的三个已知点a，b，c(图3)
求作：⊙o，使它经过点a，b，c.
分析：作圆的关键是确定圆心和半径．
由于所作圆要经过已知点，所以如果圆心的位置确定了，那么圆的半径也就随之确定．因此，这个问题就转化为找圆心的问题．
因为所求的圆要经过a，b，c三点，所以圆心到这三点的距离相等．因此，这个点既要**段ab的垂直平分线上，又要**段bc的垂直平分线上，显然这两条垂直平分线交于一点且到这三点的距离相等．可见圆心、半径都确定了，圆便可以作出．
教师在黑板上作圆，学生口述，教师写作法，学生随教师一起作图．
证明：因为⊙o的半径为oa，所以点a在⊙o上，即⊙o经过点a，又因为点o在ab的垂直平分线de上，所以ob＝oa则⊙o经过点b．
同理可证⊙o经过点c．
所以⊙o是所求的圆．
结合以上作法和证明，请同学回答：
师：经过不在同一直线上的三点a，b，c的圆是否存在？生：存在．
师：是否还有其他符合条件的圆呢？生：没有．
师：根据是什么？生：线段ab，bc的垂直平分线有且只有一个交点。
这说明所作的圆心是唯一的，从而半径也是唯一的，则所作圆是唯一的．在黑板上写出：
定理过不在同一直线上的三个点确定一个圆．
2．过同一直线上的三点能不能做圆呢？我们不妨试试看．
教师和学生一起用圆规和直尺按照上面的作法作圆，看能否作出圆来，再看不按上面的作法是否有办法作圆．实践的结果是不能作圆．
实际上，假定过a，b，c三点可以作圆，不妨设这个圆心为o．
由点的轨迹可知，点o**段ab的垂直平分线l′上，并且**段bc的垂直平分线l″上，即点o为l′与l″的交点，这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾．(图4所示)．
所以，过同一直线上的三点不能作圆．
3．现在我们回过头来再看看，由于任意一个三角形的三个顶点都不在同一直线上，所以由定理可知，经过三角形三个顶点可以作且只能作一个圆．
接下来介绍有关概念：
1)三角形的外接圆和圆的内接三角形：经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆，这个三角形叫做圆的内接三角形．
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