归纳与猜想。
一、 知识综述。
归纳是一种重要的推理方法，是根据具体事实和特殊现象，通过实验、观察、比较、概括出一般的原理和结论。
猜想是一种直觉思维，它是通过对研究对象的实验、观察和归纳、猜想它的规律和结论的一种思维方法。
猜想往往依据直觉来获得，而恰当的归纳可以使猜想更准确。我们在进行归纳和猜想时，要善于从变化的特殊性中寻找出不变的本质和规律。
二、理解掌握。
例1、用等号或不等号填空：
1）比较2x与x 2＋1的大小。
当x＝2时，2x x 2＋1；
当x＝1时，2x x 2＋1；
③当x＝－1时，2x x 2＋1．
2）可以推测：当x取任意实数时，2x x 2＋1．
分析：本题是通过计算发现和猜想一般规律题，正确计算和发现规律是关键。
解：（12）≤。
例2、观察下列分母有理化的计算：，从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：
分析：解本题时，要抓住分每有理化后的结果都是两数之差，且可以错位相消。还要注意相消后所剩下的是什么。解：
例3、 观察下列数表：
1 2 3 4第一行。
2 3 4 5第二行。
3 4 5 6第三行。
4 5 6 7第四行。
第一列第二列第三列第四列
根据数表所反映的规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为＿＿＿第n行与第n列交叉点上的数应为＿＿＿用含正整数n的式子表示）
分析：本题要求的是同行同列交叉点上的数，因此，必须先研究同行同列交叉点上的数有什么规律，然后利用此规律解题。
解： 11 ， 2n—1.
例4、将一个边长为1的正方形纸，剪成四个大小一样的正方形，然后将其中的一个按同样的方法剪成四个正方形，如此循环下去，观察下列图形和所给**中的数据后填空格。
分析：解本题的关键是：先归纳总结操作的次数与正方形个数之间的关系，再猜想空格中的结果。
解：操作的次数是 10时，正方形个数为31；操作的次数是 n时，正方形个数为1+3n.
例5、 下面三个图是由若干盆花组成形如三角形的图案，每条边（包括顶点）有n(n>1)盆花，每个图案花盆总数为s，按此规律推断，s与n的关系式是＿＿＿
n=2n=3n=4
s=3s=6s=9
分析：题目给出了“每条边（包括顶点）有n(n>1)盆花”，而三角形有三条边，因此，三条边上的的花盆数量为3n，但每个顶点上的花盆用了两次，必须减去。所以s=3n—3。
解：s=3n—3。
三、拓宽应用。
例6、⑴如下表：方程1，方程2，方程3，……是按照一定规律排列的一列方程，解方程1，并将它的解填在表中的空白处：
若方程的解是，，求a，b的值，该方程是不是⑴中所给出的一列方程中的一个方程？如果是，它是第几个方程？
请写出这列方程中的第n个方程和它的解，并验证所写出的解适合第n个方程。
分析：通过解方程不难求出：x1=3,x2=4，将，代入方程易求a=12,b=5。
本题较难的是写出第n个方程和它的解，解决难点的关键是观察**中方程和它们的解的排列规律，特别是每个变化的数与序号的关系。
解：（1）解方程得，x1=3,x2=4；
（2）将，代入方程，易求得a=12,b=5；
（3）第n个方程是：，它的解是：。
例7、图形的操作过程（本题中四个矩形的水平方向的边长均为a，竖直放行上的边长均为b）：
在图1中，将线段向右平移1个单位到，得到封闭图形（即阴影部分）
在图2中，将折线向右平移1个单位到，得到封闭图形（即阴影部分）
图1） （图2） （图3）
在图3中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭的图形，并用斜线画出阴影；
请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：
联想与探索：
如图4，在一块矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少？并说明你的猜想是正确的。
分析：本题考查的内容较多，有动手操作、有计算、有归纳猜想，还有想象。（1）和（2）两问并不困难，第（3）问可想象将中间的小路从中抽去，再拼起来后仍然是一个矩形，这时它的两边长分别是a—1,b，这样面积就不难求了。
解：（1）2）=ab--b； =ab--b； =ab—b;
3) 空白部分表示的草地面积是ab—b。（可想象将中间的小路从中抽去，再拼起来后仍然是一个矩形，这时它的两边长分别是a—1,b）
例8、阅读下列材料，按要求解答问题。
观察下面两块三角尺它们有一个共同的性质：∠a=2∠b。我们由此出发来进行思考。
在图a中，作斜边上的高cd，由于∠b=30°，可知c=2b，∠acd=30°，于是ad=，bd=，由△cdb∽△acb ，可知，即，同理，于是。
图a图b图c
对于图b由勾股定理有，由于b=c，故也有，这两块三角尺都具有性质，在△abc中，如果有一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这种三角形为倍角三角形。两块三角尺就都是特殊的倍角三角形，上面的性质仍然成立吗？暂时把我们的设想作为一个猜测：
如图c，在△abc中，若∠cab=2∠abc，则，在上述由三角尺的性质到“猜测”这一认识过程中，用到了下列四种数学思想方法中的哪一种？选出一个正确的将其序号填在括号内（ ）
1 分类的思想方法；②转化的思想方法；③由特殊到一般的思想方法；④数形结合的思想方法。
这个猜测是否正确？请证明。
分析：通过阅读可以发现：本题的研究是先从特殊情况入手，再得出一般情况的结论，因此，主要运用的是由特殊到一般的思想方法。
故选③；一般情况下的证明虽然方法较多，但是有一定的难度，应加强解题思路的分析。
解：（1）③；
（2）猜测是正确的。
证明：延长ba到d，使ad=ac=b，连结cd，则∠acd=∠adc，∠bac=∠acd+∠adc，∴∠bac=2∠adc
∠bac=2∠abc ∠abc=∠adc，且bc=cd=a，∴△acd∽△cbd
想一想：还有其他证明方法吗？
四、巩固训练。
1、观察下列有规律的数，并根据规律写出第五个数：
2、观察下列图形并填表。
3、 下列每个图形都是若干棋子围成的正方形图案，图案的每条边（包括两个顶点）上都有n（n≥2）个棋子，每个图案的棋子总数为s，按下图的排列规律推断，s与n之间的关系可以用式子＿＿＿来表示。
n=2s=4 n=3
s=8n=4
s=12n=5 s=16
4、⑴判断下列各式是否成立，你认为成立的请在括号内打“√”不成立的打“×”
你判断完以上各题后，发现了什么规律？请用含有n的式子将规律表示出来，并注明n的取值范围。
请用数学知识说明你所写的式子的正确性。
5、已知ac、ab是⊙o的弦，ab＞ac。（1）如图9，能否在ab上确定一个点e，使ac=ae·ab，为什么？（2）如图10，在条件（1）的结论下延长ec到p，连结pb。
如果pb=pe，试判断pb和⊙o的位置关系并说明理由。（3）在条件（2）的情况下，如果e是pd的中点，那么c是pe的中点吗？为什么？
（重庆市中考试题）
aa dcc e oop
bb图9图10
本题三个小题全是结论探索题。
参***，20，2+3nn-4 4、（1）√√2）
5、（1）能，连结bc，作∠ace=∠b。（证明略） （2）pb是⊙o的切线（证明略）
3）是。（提示：利用切割线定理和pe=pb、pd=2pe）。
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